Номер 210, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

210*. Докажите, что если из одной вершины неравнобедренного треугольника провести высоту, медиану и биссектрису, то биссектриса будет лежать между высотой и медианой.

Рассмотрим неравнобедренный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ на сторону $AC$ высоту $BH$, биссектрису $BL$ и медиану $BM$. Нам нужно доказать, что точка $L$ лежит на отрезке $AC$ между точками $H$ и $M$.

Так как треугольник $ABC$ неравнобедренный, то его стороны, выходящие из вершины $B$, не равны. Пусть, для определенности, $AB < BC$.

1. Сравним положение высоты и биссектрисы.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому из $AB < BC$ следует, что $\angle C < \angle A$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. В них:
$\angle ABH = 90^\circ - \angle A$
$\angle CBH = 90^\circ - \angle C$
Поскольку $\angle A > \angle C$, то $90^\circ - \angle A < 90^\circ - \angle C$, откуда следует, что $\angle ABH < \angle CBH$.

$BL$ — биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому она делит этот угол пополам: $\angle ABL = \angle LBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{\angle ABH + \angle CBH}{2}$.
Сравним угол $\angle ABH$ с углом $\angle ABL$. Так как $\angle ABH < \angle CBH$, то их среднее арифметическое будет больше меньшего из них:$\angle ABL = \frac{\angle ABH + \angle CBH}{2} > \frac{\angle ABH + \angle ABH}{2} = \angle ABH$.
Из неравенства $\angle ABH < \angle ABL$ следует, что луч $BL$ проходит между лучом $BH$ и стороной $BC$. Это означает, что на стороне $AC$ точка $H$ лежит между $A$ и $L$.

2. Сравним положение биссектрисы и медианы.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон:
$\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}$
Так как по нашему предположению $AB < BC$, то отношение $\frac{AB}{BC} < 1$. Следовательно, $\frac{AL}{LC} < 1$, что означает $AL < LC$.

$BM$ — медиана, поэтому точка $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC = \frac{1}{2}AC$.
Из неравенства $AL < LC$ следует, что $AL + AL < AL + LC$, то есть $2AL < AC$, или $AL < \frac{1}{2}AC$.
Поскольку $AM = \frac{1}{2}AC$, мы получаем, что $AL < AM$.
Это означает, что точка $L$ лежит между точками $A$ и $M$.

3. Вывод.

Мы установили, что при $AB < BC$ на стороне $AC$ точка $H$ лежит между $A$ и $L$, а точка $L$ лежит между $A$ и $M$. Таким образом, точки на прямой $AC$ располагаются в следующем порядке: $A, H, L, M, C$.
Отсюда следует, что биссектриса $BL$ лежит между высотой $BH$ и медианой $BM$.

Если бы мы предположили, что $AB > BC$, то все неравенства изменились бы на противоположные, и мы получили бы следующий порядок точек: $A, M, L, H, C$. В этом случае биссектриса $BL$ снова оказалась бы расположенной между медианой $BM$ и высотой $BH$.

Таким образом, в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из одной вершины, всегда лежит между высотой и медианой, проведенными из той же вершины.

Ответ: Что и требовалось доказать.