Номер 204, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

204. В треугольнике $ABC$, где $AB < BC < AC$, один из углов в 2 раза меньше другого и в 3 раза меньше третьего. Найдите угол $A$.

Пусть наименьший из углов треугольника равен $x$. Согласно условию, один из углов в 2 раза меньше другого и в 3 раза меньше третьего. Это означает, что если мы обозначим самый маленький угол через $x$, то два других угла будут равны $2x$ и $3x$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Мы можем составить уравнение на основе этого свойства:
$x + 2x + 3x = 180^\circ$

Решим это уравнение:
$6x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{6}$
$x = 30^\circ$

Теперь найдем величины всех трех углов треугольника:
Первый угол: $x = 30^\circ$
Второй угол: $2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $3x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

В условии задачи дано соотношение сторон треугольника $ABC$: $AB < BC < AC$. В геометрии известно правило: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

В треугольнике $ABC$:
- Против стороны $AB$ лежит угол $C$.
- Против стороны $BC$ лежит угол $A$.
- Против стороны $AC$ лежит угол $B$.

Из соотношения сторон $AB < BC < AC$ следует соответствующее соотношение для углов: $\angle C < \angle A < \angle B$.

Теперь сопоставим найденные значения углов ($30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$) с этим неравенством:
- Наименьший угол $\angle C = 30^\circ$.
- Средний по величине угол $\angle A = 60^\circ$.
- Наибольший угол $\angle B = 90^\circ$.

Нас просят найти угол $A$. Согласно нашему распределению, $\angle A = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$