Номер 201, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

201*. На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $D$, и оказалось, что $AD = BD$, $DC = BC$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Дано: треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AC$, точка $D \in AC$, $AD = BD$, $DC = BC$.

Найти: углы треугольника $ABC$ ($∠A$, $∠B$, $∠C$).

Решение:

1. Обозначим угол при основании $∠BAC$ через $α$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то его углы при основании равны:

$∠BCA = ∠BAC = α$.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию $AD = BD$, значит, он является равнобедренным с основанием $AB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно:

$∠ABD = ∠BAD = α$.

3. Рассмотрим угол $∠BDC$. Этот угол является внешним для треугольника $ABD$ при вершине $D$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$∠BDC = ∠BAD + ∠ABD = α + α = 2α$.

4. Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию $DC = BC$, значит, он является равнобедренным с основанием $BD$. Углы при основании этого треугольника равны:

$∠CBD = ∠BDC = 2α$.

5. Теперь мы можем выразить все углы исходного треугольника $ABC$ через $α$:

• $∠A = α$
• $∠C = α$
• $∠B = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = α + 2α = 3α$

6. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Для треугольника $ABC$ составим и решим уравнение:

$∠A + ∠B + ∠C = 180°$

$α + 3α + α = 180°$

$5α = 180°$

$α = 180° / 5$

$α = 36°$

7. Теперь найдем величины углов треугольника $ABC$:

• $∠A = ∠C = α = 36°$
• $∠B = 3α = 3 \cdot 36° = 108°$

Проверка: $36° + 108° + 36° = 180°$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $36°$, $108°$ и $36°$.