Номер 197, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

197. Дан прямоугольный треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CK$ — высота треугольника $ABC$, $CM$ — биссектриса треугольника $ACK$. Докажите, что треугольник $BMC$ — равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $BMC$ является равнобедренным, мы докажем равенство двух его углов: $\angle MCB$ и $\angle CMB$.

1. Обозначим острые углы исходного прямоугольного треугольника $ABC$ как $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ и $\angle C = 90^\circ$, то для острых углов справедливо равенство $\alpha + \beta = 90^\circ$.
2. Рассмотрим треугольник $ACK$. Так как $CK$ — высота, то $\angle CKA = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ACK$ — прямоугольный. Сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ACK = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$. Из пункта 1 мы знаем, что $90^\circ - \alpha = \beta$, значит, $\angle ACK = \beta$.
3. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $CKB$ ($\angle CKB = 90^\circ$) угол $\angle KCB = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - \beta$. Поскольку $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $90^\circ - \beta = \alpha$. Таким образом, $\angle KCB = \alpha$.
4. По условию задачи, $CM$ — биссектриса угла $\angle ACK$. Это значит, что она делит этот угол на две равные части: $\angle KCM = \frac{1}{2}\angle ACK$. Используя результат из пункта 2, получаем $\angle KCM = \frac{\beta}{2}$.
5. Теперь мы можем найти величину угла $\angle MCB$. Он состоит из суммы двух углов: $\angle MCB = \angle KCB + \angle KCM$. Подставляя найденные значения из пунктов 3 и 4, получаем:
   $\angle MCB = \alpha + \frac{\beta}{2}$.
6. Далее найдем величину угла $\angle CMB$. Угол $\angle CMB$ является внешним углом для треугольника $AMC$. По теореме о внешнем угле, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle CMB = \angle CAM + \angle ACM$.
   Поскольку $\angle CAM = \angle A = \alpha$ и $\angle ACM = \angle KCM = \frac{\beta}{2}$ (так как $CM$ — биссектриса), то получаем:
   $\angle CMB = \alpha + \frac{\beta}{2}$.
7. Сравнивая выражения для углов $\angle MCB$ и $\angle CMB$ из пунктов 5 и 6, мы видим, что они равны:
   $\angle MCB = \angle CMB = \alpha + \frac{\beta}{2}$.

Так как в треугольнике $BMC$ два угла равны ($\angle MCB = \angle CMB$), то по признаку равнобедренного треугольника, $\triangle BMC$ — равнобедренный.

Ответ: Треугольник $BMC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.