Номер 199, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

199*. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 70^\circ$, высоты $AK$ и $CM$ треугольника пересекаются в точке $H$. Найдите угол $MHK$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем угол B в треугольнике ABC.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная углы $\angle A$ и $\angle C$, мы можем найти угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

Подставим известные значения:

$\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$

2. Рассмотрим четырехугольник BMHK.

По условию, $AK$ и $CM$ являются высотами треугольника $ABC$. Это означает, что они перпендикулярны сторонам, к которым проведены:

• Высота $CM$ перпендикулярна стороне $AB$, следовательно, $\angle CMB = 90^\circ$.
• Высота $AK$ перпендикулярна стороне $BC$, следовательно, $\angle AKB = 90^\circ$.

Точки $M$ и $K$ являются основаниями высот, а $H$ — точка их пересечения. Рассмотрим четырехугольник $BMHK$. Его углами являются $\angle B$, $\angle BMH$, $\angle BKH$ и $\angle MHK$.

Так как $\angle CMB = 90^\circ$ и $H$ лежит на $CM$, то $\angle BMH = 90^\circ$.

Так как $\angle AKB = 90^\circ$ и $H$ лежит на $AK$, то $\angle BKH = 90^\circ$.

3. Найдем угол MHK.

Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $BMHK$ можем записать:

$\angle B + \angle BMH + \angle BKH + \angle MHK = 360^\circ$

Подставим известные значения углов в это уравнение:

$50^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle MHK = 360^\circ$

Упростим выражение:

$230^\circ + \angle MHK = 360^\circ$

Теперь найдем искомый угол $\angle MHK$:

$\angle MHK = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$

Ответ: $130^\circ$.