Задание 2, страница 131 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $a$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. На чертеже показан перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a. Его длина указана и равна 12 м.

Таким образом, искомое расстояние уже приведено на чертеже.

Для проверки этого значения можно выполнить расчет, используя другие данные с рисунка. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого точка А является вершиной прямого угла, а катеты — это отрезки длиной 15 м и 20 м. Прямая а является гипотенузой этого треугольника. Искомое расстояние от точки А до прямой а в этом случае является высотой $h$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора, зная длины катетов $a = 15$ м и $b = 20$ м:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$

$c = \sqrt{625} = 25$ м.

2. Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: как половину произведения катетов $S = \frac{1}{2}ab$ или как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней $S = \frac{1}{2}ch$.

3. Приравняем эти два выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$

$ab = ch$

$h = \frac{ab}{c}$

4. Подставим известные значения в формулу:

$h = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ м.

Расчет подтверждает, что расстояние от точки А до прямой а равно 12 м.

Ответ: 12 м.