Номер 203, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

203. Запишите стороны и углы треугольника $ABC$ в порядке возрастания (рис. 254).

а) Дано: $\angle A = 59^\circ$, $\angle C = 61^\circ$.

Найдем $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - 59^\circ - 61^\circ = 60^\circ$.

Порядок углов: $\angle A = 59^\circ < \angle B = 60^\circ < \angle C = 61^\circ$.

Порядок сторон (сторона напротив угла): $BC < AC < AB$.

б) Дано: $AB = 11,8$, $BC = 12,1$, $AC = 12$.

Порядок сторон: $AB = 11,8 < AC = 12 < BC = 12,1$.

Порядок углов (угол напротив стороны): $\angle C < \angle B < \angle A$.

в) Дано: Внешний угол при вершине $A$ равен $122^\circ$. Внутренний угол при вершине $A$ равен $180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$. $\angle B = 58^\circ$.

Найдем $\angle C$: $\angle C = 180^\circ - 58^\circ - 58^\circ = 64^\circ$.

Порядок углов: $\angle A = 58^\circ = \angle B = 58^\circ < \angle C = 64^\circ$.

Порядок сторон (сторона напротив угла): $BC = AC < AB$.

г) Дано: $AB = 4$, $BC = \frac{23}{6}$, $AC = \frac{13}{3}$.

Сравним длины сторон: $BC = \frac{23}{6} \approx 3,83$; $AB = 4$; $AC = \frac{13}{3} \approx 4,33$.

Порядок сторон: $BC = \frac{23}{6} < AB = 4 < AC = \frac{13}{3}$.

Порядок углов (угол напротив стороны): $\angle A < \angle C < \angle B$.

Рис. 254

Для решения этой задачи воспользуемся двумя основными свойствами треугольника:

1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
2. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

а)

Дано: $\angle A = 59^\circ$, $\angle C = 61^\circ$.

1. Найдем угол B:
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (59^\circ + 61^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Упорядочим углы по возрастанию:
Сравниваем углы: $59^\circ < 60^\circ < 61^\circ$.
Следовательно, $\angle A < \angle B < \angle C$.

3. Упорядочим стороны по возрастанию:
Против меньшего угла лежит меньшая сторона. Сторона $BC$ лежит против угла $A$, сторона $AC$ — против угла $B$, а сторона $AB$ — против угла $C$.
Так как $\angle A < \angle B < \angle C$, то $BC < AC < AB$.

Ответ: углы - $\angle A, \angle B, \angle C$; стороны - $BC, AC, AB$.

б)

Дано: $AB = 11.8$, $AC = 12$, $BC = 12.1$.

1. Упорядочим стороны по возрастанию:
Сравниваем длины сторон: $11.8 < 12 < 12.1$.
Следовательно, $AB < AC < BC$.

2. Упорядочим углы по возрастанию:
Против меньшей стороны лежит меньший угол. Угол $C$ лежит против стороны $AB$, угол $B$ — против стороны $AC$, а угол $A$ — против стороны $BC$.
Так как $AB < AC < BC$, то $\angle C < \angle B < \angle A$.

Ответ: стороны - $AB, AC, BC$; углы - $\angle C, \angle B, \angle A$.

в)

Дано: внешний угол при вершине A равен $122^\circ$, $\angle B = 58^\circ$.

1. Найдем внутренний угол A:
Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.

2. Найдем угол C:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (58^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

3. Упорядочим углы по возрастанию:
Сравниваем углы: $58^\circ = 58^\circ < 64^\circ$.
Следовательно, $\angle A = \angle B < \angle C$.

4. Упорядочим стороны по возрастанию:
Против равных углов лежат равные стороны. Сторона $BC$ лежит против угла $A$, а сторона $AC$ — против угла $B$. Так как $\angle A = \angle B$, то $BC = AC$.
Сторона $AB$ лежит против наибольшего угла $C$, значит, это наибольшая сторона.
Таким образом, $BC = AC < AB$.

Ответ: углы - $\angle A, \angle B, \angle C$ (причем $\angle A = \angle B$); стороны - $BC, AC, AB$ (причем $BC=AC$).

г)

Дано: $AB = 4$, $BC = \frac{23}{6}$, $AC = \frac{13}{3}$.

1. Упорядочим стороны по возрастанию:
Для сравнения приведем все длины к общему знаменателю 6:
$AB = 4 = \frac{24}{6}$
$BC = \frac{23}{6}$
$AC = \frac{13}{3} = \frac{26}{6}$
Сравниваем числители: $23 < 24 < 26$.
Следовательно, $\frac{23}{6} < \frac{24}{6} < \frac{26}{6}$, что означает $BC < AB < AC$.

2. Упорядочим углы по возрастанию:
Против меньшей стороны лежит меньший угол. Угол $A$ лежит против стороны $BC$, угол $C$ — против стороны $AB$, а угол $B$ — против стороны $AC$.
Так как $BC < AB < AC$, то $\angle A < \angle C < \angle B$.

Ответ: стороны - $BC, AB, AC$; углы - $\angle A, \angle C, \angle B$.