Номер 205, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

205. Докажите, что для наклонных, проведенных из одной точки к одной прямой, справедливо утверждение:

а) равным наклонным, проведенным из одной точки к одной прямой, соответствуют равные проекции;

б) большей наклонной соответствует большая проекция.

Пусть из точки $A$, не лежащей на прямой $l$, к этой прямой проведены перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Точки $H$, $B$, $C$ лежат на прямой $l$. Отрезок $AH$ является общим катетом для прямоугольных треугольников $\Delta AHB$ и $\Delta AHC$ (где $\angle AHC = \angle AHB = 90^\circ$).
Наклонные $AB$ и $AC$ являются гипотенузами этих треугольников, а отрезки $HB$ и $HC$ — их катетами и, соответственно, проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на прямую $l$.

а) равным наклонным, проведенным из одной точки к одной прямой, соответствуют равные проекции;

Дано: наклонные $AB$ и $AC$, $AB = AC$.
Доказать: проекции $HB = HC$.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta AHB$ и $\Delta AHC$. По теореме Пифагора для каждого из них имеем:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$AC^2 = AH^2 + HC^2$
По условию $AB = AC$, следовательно, и $AB^2 = AC^2$.
Приравняем правые части выражений для квадратов гипотенуз:
$AH^2 + HB^2 = AH^2 + HC^2$
Вычтем из обеих частей равенства $AH^2$:
$HB^2 = HC^2$
Поскольку длины отрезков являются неотрицательными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин: $HB = HC$. Что и требовалось доказать.
Ответ: равным наклонным, проведенным из одной точки к одной прямой, соответствуют равные проекции.

б) большей наклонной соответствует большая проекция.

Дано: наклонные $AB$ и $AC$, $AB > AC$.
Доказать: проекция $HB > HC$.

Доказательство:
Рассмотрим те же прямоугольные треугольники $\Delta AHB$ и $\Delta AHC$. Из теоремы Пифагора выразим квадраты катетов $HB$ и $HC$:
$HB^2 = AB^2 - AH^2$
$HC^2 = AC^2 - AH^2$
По условию $AB > AC$. Так как длины наклонных — положительные величины, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится: $AB^2 > AC^2$.
Сравним выражения для квадратов проекций. Так как $AB^2 > AC^2$, а вычитаемое $AH^2$ в обоих случаях одинаково, то:
$AB^2 - AH^2 > AC^2 - AH^2$
Следовательно, $HB^2 > HC^2$.
Поскольку длины проекций $HB$ и $HC$ — положительные величины, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин: $HB > HC$. Что и требовалось доказать.
Ответ: большей наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой, соответствует большая проекция.