Номер 207, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

207. В треугольнике $MNK$ медиана $ME$ равна 12 см, $\angle NME = \angle KME$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $KN$.

По условию задачи, в треугольнике $MNK$ отрезок $ME$ является медианой, проведенной к стороне $KN$. Это означает, что точка $E$ — середина стороны $KN$, и, следовательно, отрезки $NE$ и $EK$ равны: $NE = EK$.

Также дано, что $\angle NME = \angle KME$. Это означает, что медиана $ME$ одновременно является и биссектрисой угла $\angle NMK$.

Рассмотрим признак равнобедренного треугольника: если в треугольнике медиана, проведенная из некоторой вершины, является также и биссектрисой, то этот треугольник — равнобедренный. Докажем, что $\triangle MNK$ является равнобедренным.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $ME$ треугольника $MNK$ это свойство записывается так: $$ \frac{MN}{MK} = \frac{NE}{EK} $$

Поскольку $ME$ — медиана, то $NE = EK$. Следовательно, их отношение равно единице: $$ \frac{NE}{EK} = 1 $$

Подставив это значение в предыдущую формулу, получаем: $$ \frac{MN}{MK} = 1 $$ Отсюда следует, что $MN = MK$.

Так как две стороны треугольника $MNK$ равны, он является равнобедренным с основанием $KN$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является и высотой. Так как $ME$ — медиана, проведенная к основанию $KN$ в равнобедренном треугольнике $MNK$, то $ME$ является и его высотой. Это значит, что $ME$ перпендикулярна $KN$ ($ME \perp KN$).

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $KN$ равно длине высоты $ME$.

По условию, длина медианы $ME$ составляет 12 см.

Ответ: 12 см.