Номер 206, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

206. Треугольник $ABC$ — равносторонний, $M$ — внутренняя точка отрезка $BC$. Докажите, что $AM < AB$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. По теореме о соотношении сторон и углов в треугольнике, против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Чтобы доказать, что $AM < AB$, достаточно показать, что угол, лежащий напротив стороны $AM$ (т.е. $\angle ABM$), меньше угла, лежащего напротив стороны $AB$ (т.е. $\angle AMB$).

Поскольку по условию треугольник $ABC$ является равносторонним, все его углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle ABM = \angle ABC = 60^\circ$.

Рассмотрим угол $\angle AMB$. Он является внешним углом для треугольника $AMC$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AMB = \angle MAC + \angle MCA$.

Мы знаем, что $\angle MCA = \angle C = 60^\circ$, так как $\triangle ABC$ — равносторонний. Поскольку $M$ — внутренняя точка отрезка $BC$ и, следовательно, не совпадает с $C$, то луч $AM$ проходит внутри угла $\angle BAC$, а значит, $\angle MAC > 0^\circ$.

Тогда $\angle AMB = \angle MAC + 60^\circ$. Так как $\angle MAC > 0^\circ$, мы можем заключить, что $\angle AMB > 60^\circ$.

Итак, в треугольнике $ABM$ мы сравнили два угла: $\angle AMB > 60^\circ$ и $\angle ABM = 60^\circ$. Отсюда следует, что $\angle AMB > \angle ABM$.

Так как в треугольнике $ABM$ напротив большего угла $\angle AMB$ лежит большая сторона $AB$, а напротив меньшего угла $\angle ABM$ — меньшая сторона $AM$, то из неравенства $\angle AMB > \angle ABM$ следует, что $AB > AM$. Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.