Номер 208, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

208*. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$, где $a=BC$, $b=AC$ и $c=AB$. Пусть $h_a$, $h_b$, $h_c$ — высоты, проведенные к сторонам $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Каждая высота треугольника является катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого служит одна из сторон треугольника. Например, высота $h_a$, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, является катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого будет сторона $b$ (или $c$). В любом прямоугольном треугольнике катет всегда короче гипотенузы.

Отсюда следуют неравенства для каждой из высот:

1. Высота $h_a$, проведенная из вершины $A$, меньше прилежащих сторон $b$ и $c$. Запишем одно из неравенств: $h_a < b$.

2. Высота $h_b$, проведенная из вершины $B$, меньше прилежащих сторон $a$ и $c$. Запишем одно из неравенств: $h_b < c$.

3. Высота $h_c$, проведенная из вершины $C$, меньше прилежащих сторон $a$ и $b$. Запишем одно из неравенств: $h_c < a$.

Сложим эти три верных неравенства:

$h_a + h_b + h_c < b + c + a$

Сумма $a + b + c$ является периметром треугольника $P$. Таким образом, мы получаем:

$h_a + h_b + h_c < P$

Следовательно, сумма высот треугольника меньше его периметра, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.