Номер 209, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

209*. В треугольнике $ABC (AB < BC) BH$ — высота, $BM$ — медиана. Докажите, что:

а) $\angle ABH < \angle CBH$;

б) $\angle ABM > \angle CBM$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $AB < BC$, $BH$ — высота, $BM$ — медиана.

а) Докажите, что $\angle ABH < \angle CBH$

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB < BC$. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Следовательно, угол, лежащий против стороны $AB$, меньше угла, лежащего против стороны $BC$.

$\angle ACB < \angle BAC$

$BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$, поэтому $BH \perp AC$. Это означает, что треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ сумма острых углов равна $90^\circ$:

$\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ$

Отсюда выразим $\angle ABH$:

$\angle ABH = 90^\circ - \angle BAH$ (или $\angle ABH = 90^\circ - \angle BAC$)

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$ сумма острых углов равна $90^\circ$:

$\angle CBH + \angle BCH = 90^\circ$

Отсюда выразим $\angle CBH$:

$\angle CBH = 90^\circ - \angle BCH$ (или $\angle CBH = 90^\circ - \angle ACB$)

Так как мы ранее установили, что $\angle BAC > \angle ACB$, то из $90^\circ$ для получения $\angle ABH$ мы вычитаем больший угол, чем для получения $\angle CBH$. Следовательно, результат вычитания будет меньше.

$90^\circ - \angle BAC < 90^\circ - \angle ACB$

Таким образом, $\angle ABH < \angle CBH$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle ABH < \angle CBH$.

б) Докажите, что $\angle ABM > \angle CBM$

Для доказательства этого неравенства используем метод дополнительного построения. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину и отложим отрезок $MD = BM$. Соединим точку $D$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDM$.

1. $AM = CM$ (так как $BM$ — медиана по условию).

2. $BM = DM$ (по построению).

3. $\angle AMB = \angle CMD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDM$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:

$AB = CD$

$\angle ABM = \angle CDM$ (или $\angle ABM = \angle BDC$)

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Его стороны: $BC$, $CD$ и $BD$.

По условию задачи $AB < BC$. Так как мы доказали, что $AB = CD$, то можно записать неравенство для сторон треугольника $\triangle BCD$:

$CD < BC$

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В $\triangle BCD$ против стороны $BC$ лежит угол $\angle BDC$, а против стороны $CD$ лежит угол $\angle CBM$.

Поскольку $BC > CD$, то и угол, лежащий напротив $BC$, больше угла, лежащего напротив $CD$:

$\angle BDC > \angle CBM$

Ранее мы установили, что $\angle BDC = \angle ABM$. Заменим в неравенстве $\angle BDC$ на равный ему угол $\angle ABM$:

$\angle ABM > \angle CBM$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle ABM > \angle CBM$.