Номер 202, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

202*. Найдите угол $\alpha$ (рис. 243) (если на чертеже необходимо выделить четыре или более углов, то их отмечают одной дугой).

$42^\circ$

$112^\circ$

$93^\circ$

$\alpha$

Рис. 243

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника (сумма углов треугольника равна 180°) и свойствами смежных и вертикальных углов. Углы 112° и 93°, показанные на чертеже, будем рассматривать как внешние углы для малых треугольников, из которых состоят лучи звезды.

Сначала рассмотрим треугольник, расположенный слева от верхнего треугольника с углом 42°. Угол 112° является внешним для этого левого треугольника. Следовательно, внутренний угол этого треугольника, смежный с углом 112°, равен $180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Этот угол в 68° является вертикальным с одним из углов при основании верхнего треугольника (с вершиной 42°), а значит, они равны.

Теперь в верхнем треугольнике мы знаем два угла: угол при вершине 42° и один из углов при основании 68°. Мы можем найти второй угол при основании этого треугольника: $180^\circ - (42^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Этот найденный угол в 70° является вертикальным для одного из углов при основании треугольника, содержащего искомый угол α. Таким образом, один из углов при основании в треугольнике с углом α равен 70°.

Далее, рассмотрим угол 93°. Он является внешним для треугольника, соседнего с тем, в котором находится угол α. Внутренний угол, смежный с углом 93°, равен $180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$. Этот угол является вертикальным для второго угла при основании треугольника с искомым углом α. Следовательно, второй угол при основании в этом треугольнике равен 87°.

Теперь мы знаем оба угла при основании (70° и 87°) в треугольнике, содержащем α. По теореме о сумме углов треугольника находим угол α:
$\alpha = 180^\circ - (70^\circ + 87^\circ) = 180^\circ - 157^\circ = 23^\circ$.

Ответ: $23^\circ$.