Номер 200, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

200*. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BK$ и высота $AH$ пересекаются в точке $O$. Угол $\angle AOB$ в 2 раза больше угла $\angle ABC$. Найдите угол $\angle ABC$.

Обозначим искомый угол $\angle ABC$ через $\beta$.

По условию, $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла:

$\angle ABK = \angle KBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\beta}{2}$

Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе $BK$, то $\angle ABO = \angle ABK = \frac{\beta}{2}$.

Также по условию задачи нам дано, что угол $\angle AOB$ в 2 раза больше угла $\angle ABC$. Запишем это в виде формулы:

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ABC = 2\beta$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $\triangle AOB$ это записывается как:

$\angle OAB + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ$

Подставим в это равенство известные нам выражения для углов $\angle ABO$ и $\angle AOB$:

$\angle OAB + \frac{\beta}{2} + 2\beta = 180^\circ$

$\angle OAB + \frac{5\beta}{2} = 180^\circ$

Из этого уравнения мы можем выразить угол $\angle OAB$ через $\beta$:

$\angle OAB = 180^\circ - \frac{5\beta}{2}$

Далее, рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. По условию, $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$. Это значит, что $\angle AHB = 90^\circ$, и треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Углы $\angle BAH$ и $\angle ABH$ — острые углы треугольника $\triangle ABH$. Угол $\angle ABH$ совпадает с углом $\angle ABC$, то есть $\angle ABH = \beta$.

Следовательно:

$\angle BAH + \angle ABH = 90^\circ$

$\angle BAH + \beta = 90^\circ$

Выразим угол $\angle BAH$ через $\beta$:

$\angle BAH = 90^\circ - \beta$

Точка $O$ является точкой пересечения высоты $AH$ и биссектрисы $BK$, поэтому она лежит на отрезке $AH$. Это означает, что угол $\angle OAB$ и угол $\angle BAH$ — это один и тот же угол. Теперь мы можем приравнять два выражения, которые мы получили для этого угла:

$180^\circ - \frac{5\beta}{2} = 90^\circ - \beta$

Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $\beta$:

$180^\circ - 90^\circ = \frac{5\beta}{2} - \beta$

$90^\circ = \frac{5\beta - 2\beta}{2}$

$90^\circ = \frac{3\beta}{2}$

$3\beta = 90^\circ \cdot 2$

$3\beta = 180^\circ$

$\beta = \frac{180^\circ}{3}$

$\beta = 60^\circ$

Значит, искомый угол $\angle ABC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.