Номер 194, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

194. Углы треугольника относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите отношение соответствующих внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине.

Пусть углы треугольника равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$. Согласно условию задачи, их величины относятся как $2 : 3 : 4$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры углов можно выразить следующим образом:

$\alpha_1 = 2x$

$\alpha_2 = 3x$

$\alpha_3 = 4x$

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Используя это свойство, составим и решим уравнение:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$

$2x + 3x + 4x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Теперь мы можем найти точные значения каждого внутреннего угла треугольника:

$\alpha_1 = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

$\alpha_2 = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$

$\alpha_3 = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Внешний угол треугольника при каждой вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Обозначим внешние углы, соответствующие углам $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$, как $\beta_1$, $\beta_2$ и $\beta_3$ и вычислим их значения:

$\beta_1 = 180^\circ - \alpha_1 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

$\beta_2 = 180^\circ - \alpha_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\beta_3 = 180^\circ - \alpha_3 = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Наконец, найдем отношение получившихся внешних углов:

$\beta_1 : \beta_2 : \beta_3 = 140 : 120 : 100$

Для упрощения данного отношения разделим все его части на их наибольший общий делитель. Сначала разделим на 10, а затем на 2:

$140 : 120 : 100 \rightarrow 14 : 12 : 10 \rightarrow 7 : 6 : 5$

Таким образом, искомое отношение внешних углов равно $7 : 6 : 5$.

Ответ: $7 : 6 : 5$