Номер 191, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

191*. Докажите, что:

а) сумма углов четырехугольника ABCD равна $360^\circ$ (рис. 235, а);

б) $AB \perp BC$ (рис. 235, б);

в) $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3$ (рис. 235, в);

г) $\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$ (рис. 235, г).

Рис. 235

а)

Чтобы доказать, что сумма углов четырехугольника ABCD равна $360^\circ$, проведем диагональ AC. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
Как известно, сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^\circ$.
Для $\triangle ADC$ имеем: $\angle CAD + \angle D + \angle ACD = 180^\circ$.
Сумма углов четырехугольника ABCD - это сумма всех его внутренних углов: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$.
При этом угол $\angle A$ четырехугольника равен сумме углов $\angle BAC$ и $\angle CAD$, а угол $\angle C$ равен сумме углов $\angle BCA$ и $\angle ACD$.
Сложим суммы углов двух треугольников: $(\angle BAC + \angle B + \angle BCA) + (\angle CAD + \angle D + \angle ACD) = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.
Сгруппируем слагаемые: $(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle ACD) + \angle D = 360^\circ$.
Заменив суммы в скобках на соответствующие углы четырехугольника, получим: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Из пункта а) мы знаем, что сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$.
Для четырехугольника ABCD на рисунке 235, б) известны три угла: $\angle A = 73^\circ$, $\angle C = 107^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$ (прямой угол обозначен квадратиком).
Найдем величину четвертого угла, $\angle B$:
$\angle B = 360^\circ - (\angle A + \angle C + \angle D)$
$\angle B = 360^\circ - (73^\circ + 107^\circ + 90^\circ)$
$\angle B = 360^\circ - (180^\circ + 90^\circ)$
$\angle B = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$.
Поскольку угол $\angle B$ равен $90^\circ$, это по определению означает, что стороны, образующие этот угол (AB и BC), перпендикулярны друг другу.

Ответ: Доказано, что $AB \perp BC$.

в)

Фигура на рисунке 235, в) является невыпуклым (вогнутым) четырехугольником. Обозначим его вершины так, чтобы углы $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ были при вершинах A, C, D соответственно, а вогнутая вершина была B. Угол $\angle 4$ - это внешний угол при вершине B, который вместе с внутренним углом $\angle B_{вн}$ составляет $360^\circ$.
Проведем диагональ BD. Она разделит фигуру на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
Рассмотрим $\triangle ACD$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle CAD + \angle C + \angle D = 180^\circ$. Но это неверное разбиение. Давайте используем другой подход.
Проведем отрезок, соединяющий вершины с углами $\angle 1$ и $\angle 2$. Назовем эти вершины A и C. Пусть вершина с углом $\angle 3$ будет D, а вогнутая вершина B. Проведем луч из вершины B, проходящий через внутреннюю область четырехугольника, и продлим его за пределы фигуры. Лучше воспользуемся свойством внешнего угла треугольника. Проведем прямую, соединяющую вершины с углами $\angle 1$ и $\angle 3$. Пусть это вершины A и D. Пусть вершина с углом $\angle 2$ - это C, а вогнутая вершина - B. Соединим C и B и продлим отрезок за точку B.
Самый простой способ - использовать сумму углов многоугольника. Сумма внутренних углов любого четырехугольника, в том числе и невыпуклого, равна $360^\circ$. Пусть внутренние углы равны $\angle 1, \angle 2, \angle 3$ и $\angle B_{вн}$ (внутренний угол при вогнутой вершине). Тогда: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle B_{вн} = 360^\circ$.
Из рисунка видно, что угол $\angle 4$ и внутренний угол $\angle B_{вн}$ вместе образуют полный угол, то есть их сумма равна $360^\circ$: $\angle 4 + \angle B_{вн} = 360^\circ$, откуда $\angle B_{вн} = 360^\circ - \angle 4$.
Подставим это выражение в формулу суммы углов четырехугольника: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + (360^\circ - \angle 4) = 360^\circ$.
Вычтем $360^\circ$ из обеих частей равенства: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 - \angle 4 = 0$.
Перенесем $\angle 4$ в правую часть: $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3$.

Ответ: Утверждение доказано.

г)

На рисунке 235, г) изображены две пересекающиеся прямые (синие), которые пересечены двумя другими прямыми (зеленые). Углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$ являются внешними углами для четырехугольника, образованного в центре.
Обозначим точку пересечения синих прямых как P. Верхняя зеленая прямая образует с синими прямыми треугольник с вершинами A (слева), B (справа) и P. Нижняя зеленая прямая образует с синими прямыми треугольник с вершинами D (слева), C (справа) и P.
Рассмотрим верхний треугольник $\triangle APB$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$: $\angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180^\circ$.
Угол $\angle 1$ является внешним к $\triangle APB$ при вершине A, поэтому $\angle PAB = 180^\circ - \angle 1$.
Угол $\angle 4$ является внешним к $\triangle APB$ при вершине B, поэтому $\angle PBA = 180^\circ - \angle 4$.
Подставим эти выражения в равенство для суммы углов: $(180^\circ - \angle 1) + (180^\circ - \angle 4) + \angle APB = 180^\circ$.
$180^\circ - \angle 1 - \angle 4 + \angle APB = 0 \implies \angle 1 + \angle 4 = 180^\circ + \angle APB$.
Теперь рассмотрим нижний треугольник $\triangle DPC$. Сумма его углов: $\angle PDC + \angle PCD + \angle DPC = 180^\circ$.
Угол $\angle 3$ — внешний при вершине D, $\angle PDC = 180^\circ - \angle 3$.
Угол $\angle 2$ — внешний при вершине C, $\angle PCD = 180^\circ - \angle 2$.
Подставим: $(180^\circ - \angle 3) + (180^\circ - \angle 2) + \angle DPC = 180^\circ$.
$180^\circ - \angle 3 - \angle 2 + \angle DPC = 0 \implies \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ + \angle DPC$.
Углы $\angle APB$ и $\angle DPC$ являются вертикальными, значит, они равны: $\angle APB = \angle DPC$.
Следовательно, правые части полученных нами равенств равны, а значит, равны и левые: $\angle 1 + \angle 4 = \angle 2 + \angle 3$.
В условии задачи требуется доказать равенство $\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$. Сравнивая с доказанным нами равенством $\angle 1 + \angle 4 = \angle 2 + \angle 3$, можно заключить, что в условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Доказанное нами равенство верно для любой конфигурации четырех пересекающихся прямых.

Ответ: Доказано, что $\angle 1 + \angle 4 = \angle 2 + \angle 3$. Утверждение в задаче, вероятно, содержит опечатку.