Номер 188, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

188*. Найдите, чему равна сумма $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6$ (рис. 234).

Рис. 234

Рассмотрим фигуру, представленную на рисунке. Она состоит из трех "внешних" треугольников, которые попарно пересекаются, образуя в центре еще один, четвертый, треугольник.

Обозначим углы этого центрального треугольника как $\angle \alpha$, $\angle \beta$ и $\angle \gamma$.

Теперь рассмотрим три "внешних" треугольника:

1. Треугольник, содержащий углы $\angle 1$ и $\angle 2$. Третий угол этого треугольника является вертикальным по отношению к углу $\angle \alpha$ центрального треугольника. Поскольку вертикальные углы равны, величина этого угла также равна $\angle \alpha$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому для этого треугольника мы можем записать равенство:
   $\angle 1 + \angle 2 + \angle \alpha = 180^\circ$
2. Треугольник, содержащий углы $\angle 3$ и $\angle 4$. Его третий угол вертикален углу $\angle \beta$ центрального треугольника и, следовательно, тоже равен $\angle \beta$. Для этого треугольника справедливо следующее равенство:
   $\angle 3 + \angle 4 + \angle \beta = 180^\circ$
3. Треугольник, содержащий углы $\angle 5$ и $\angle 6$. Его третий угол вертикален углу $\angle \gamma$ центрального треугольника и, следовательно, тоже равен $\angle \gamma$. Для этого треугольника справедливо равенство:
   $\angle 5 + \angle 6 + \angle \gamma = 180^\circ$

Теперь сложим левые и правые части этих трех равенств:

$(\angle 1 + \angle 2 + \angle \alpha) + (\angle 3 + \angle 4 + \angle \beta) + (\angle 5 + \angle 6 + \angle \gamma) = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить искомую сумму углов и сумму углов центрального треугольника:

$(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6) + (\angle \alpha + \angle \beta + \angle \gamma) = 540^\circ$

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, для центрального треугольника имеем:

$\angle \alpha + \angle \beta + \angle \gamma = 180^\circ$

Подставим это значение в наше общее уравнение:

$(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6) + 180^\circ = 540^\circ$

Наконец, выразим искомую сумму углов, вычитая $180^\circ$ из обеих частей уравнения:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 540^\circ - 180^\circ$

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 360^\circ$

Ответ: $360^\circ$.