Номер 189, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

189*. Внутри квадрата $ABCD$ взята точка $K$ так, что треугольник $AKD$ равносторонний. Найдите углы треугольника $BКС$.

По условию задачи, $ABCD$ — это квадрат, а треугольник $AKD$ — равносторонний. Это означает следующее:

1. Все стороны квадрата равны: $AB = BC = CD = DA$.

2. Все углы квадрата прямые: $\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ$.

3. Все стороны равностороннего треугольника $AKD$ равны: $AK = KD = DA$.

4. Все углы равностороннего треугольника $AKD$ равны $60^\circ$: $\angle KAD = \angle AKD = \angle KDA = 60^\circ$.

Из равенства сторон следует, что сторона квадрата равна стороне равностороннего треугольника: $AB = BC = CD = DA = AK = KD$.

Рассмотрим треугольник $ABK$.

Поскольку $AB = DA$ и $AK = DA$, то $AB = AK$. Это означает, что треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$.

Найдем угол $\angle BAK$ при вершине $A$ этого треугольника. Он является частью угла квадрата $\angle DAB$.

$\angle BAK = \angle DAB - \angle KAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Так как треугольник $ABK$ равнобедренный, углы при его основании равны:

$\angle ABK = \angle AKB = (180^\circ - \angle BAK) / 2 = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDK$.

Поскольку $CD = DA$ и $KD = DA$, то $CD = KD$. Это означает, что треугольник $CDK$ также является равнобедренным с основанием $CK$.

Найдем угол $\angle CDK$ при вершине $D$ этого треугольника.

$\angle CDK = \angle CDA - \angle KDA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Углы при основании равнобедренного треугольника $CDK$ равны:

$\angle DCK = \angle DKC = (180^\circ - \angle CDK) / 2 = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$.

Теперь мы можем найти углы искомого треугольника $BKC$.

Угол $\angle KBC$ является частью угла квадрата $\angle ABC$:

$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.

Угол $\angle KCB$ является частью угла квадрата $\angle BCD$:

$\angle KCB = \angle BCD - \angle DCK = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.

Зная два угла треугольника $BKC$, мы можем найти третий, исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle BKC = 180^\circ - (\angle KBC + \angle KCB) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, мы нашли все углы треугольника $BKC$.

Ответ: углы треугольника $BKC$ равны $15^\circ$, $15^\circ$ и $150^\circ$.