Номер 183, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

183. В четырехугольнике $ABCD$ $AD = BC$. Найдите угол $BAD$ (рис. 233).

$\angle CBD = 30^\circ$

$\angle BCD = 75^\circ$

$\angle BDC = 40^\circ$

$AD = BC = BD$

Рис. 233

Рассмотрим треугольник $BCD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла ($\angle CBD = 30^\circ$ и $\angle BCD = 75^\circ$), найдем третий угол $\angle BDC$:

$\angle BDC = 180^\circ - \angle CBD - \angle BCD = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$.

Поскольку в треугольнике $BCD$ два угла равны ($\angle BCD = \angle BDC = 75^\circ$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $BC = BD$.

Из условия задачи нам известно, что $AD = BC$.

Так как $AD = BC$ и $BC = BD$, то получаем, что $AD = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Так как стороны $AD$ и $BD$ равны, то треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle BAD = \angle ABD$.

Сумма углов треугольника $ABD$ равна $180^\circ$. Используя известный угол $\angle BDA = 40^\circ$, составим уравнение:

$\angle BAD + \angle ABD + \angle BDA = 180^\circ$

Заменим $\angle ABD$ на равный ему угол $\angle BAD$:

$2 \cdot \angle BAD + 40^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BAD = 180^\circ - 40^\circ$

$2 \cdot \angle BAD = 140^\circ$

$\angle BAD = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$.