Номер 177, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

177. Докажите, что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей взаимно перпендикулярны.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и пересекающая их секущая $c$. Обозначим внутренние односторонние углы, образованные при пересечении, как $\angle \alpha$ и $\angle \beta$.

Согласно свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$:
$\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$.

Проведем биссектрисы этих углов. Биссектрисы вместе с отрезком секущей, заключенным между параллельными прямыми, образуют треугольник.

Два угла этого треугольника, прилежащие к секущей, равны половинам углов $\angle \alpha$ и $\angle \beta$, так как они образованы биссектрисами. Их значения равны $\frac{\angle \alpha}{2}$ и $\frac{\angle \beta}{2}$.

Найдем сумму этих двух углов треугольника:
$\frac{\angle \alpha}{2} + \frac{\angle \beta}{2} = \frac{\angle \alpha + \angle \beta}{2}$.

Подставив известное значение суммы $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$, получаем:
$\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Третий угол этого треугольника — это и есть угол между биссектрисами. Найдем его величину, вычтя из $180^\circ$ сумму двух других найденных углов:
$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, угол между биссектрисами равен $90^\circ$. Это по определению означает, что биссектрисы взаимно перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей взаимно перпендикулярны, так как угол между ними равен $90^\circ$.