Задание, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание

В треугольнике провели две высоты, угол $\alpha$ равен $20^{\circ}$. Найдите углы $\beta$, $\gamma$, $y$, $x$.

Для решения задачи обозначим вершины треугольника как A, B, C, где угол при вершине A равен сумме углов $ \beta $ и $ \gamma $, а угол при вершине C включает в себя угол $ \alpha $. Пусть CE — высота, опущенная из вершины C на сторону AB, а AD — высота, опущенная из вершины A на сторону BC. Точка O — точка пересечения высот.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник AEC (поскольку CE — высота, $ \angle \text{AEC} = 90^\circ $). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $ 90^\circ $. Угол $ \angle \text{CAE} $ — это угол A нашего исходного треугольника.$ \angle \text{A} + \angle \text{ACE} = 90^\circ $По условию $ \angle \text{ACE} = \alpha = 20^\circ $.$ \angle \text{A} + 20^\circ = 90^\circ $$ \angle \text{A} = 70^\circ $.

2. Угол A разделен высотой AD на два угла: $ \beta $ и $ \gamma $.$ \angle \text{A} = \beta + \gamma = 70^\circ $.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB ($ \angle \text{ADB} = 90^\circ $).Сумма острых углов $ \angle \text{B} + \angle \text{BAD} = 90^\circ $.Поскольку $ \angle \text{BAD} = \beta $, получаем:$ \angle \text{B} + \beta = 90^\circ $.

4. Из обозначений на чертеже (одинаковое количество дуг у углов $ \beta $ и B) можно сделать вывод, что эти углы равны: $ \beta = \angle \text{B} $. Подставив это в соотношение из предыдущего пункта, получим:$ \beta + \beta = 90^\circ $$ 2\beta = 90^\circ $$ \beta = 45^\circ $.

Теперь, зная значение $ \beta $, мы можем найти все остальные искомые углы.

β
Исходя из шагов 3 и 4 выше, мы установили, что $ \angle \text{B} + \beta = 90^\circ $. Приняв во внимание обозначения на рисунке, предполагаем, что $ \angle \text{B} = \beta $. Отсюда $ 2\beta = 90^\circ $.
$ \beta = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.
Ответ: $ \beta = 45^\circ $.

γ
Как было найдено в шаге 2, сумма углов $ \beta $ и $ \gamma $ равна углу A, который составляет $ 70^\circ $.$ \beta + \gamma = 70^\circ $.
Подставляем найденное значение $ \beta = 45^\circ $:$ 45^\circ + \gamma = 70^\circ $.
$ \gamma = 70^\circ - 45^\circ = 25^\circ $.
Ответ: $ \gamma = 25^\circ $.

x
Угол $ x $ — это угол $ \angle \text{AOC} $ в треугольнике AOC. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $.$ \angle \text{OAC} + \angle \text{OCA} + \angle \text{AOC} = 180^\circ $.
$ \angle \text{OAC} = \gamma = 25^\circ $.
$ \angle \text{OCA} = \alpha = 20^\circ $.
$ x = \angle \text{AOC} $.
$ 25^\circ + 20^\circ + x = 180^\circ $.
$ 45^\circ + x = 180^\circ $.
$ x = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $.
Ответ: $ x = 135^\circ $.

y
Углы $ x $ ($ \angle \text{AOC} $) и $ y $ ($ \angle \text{COD} $, судя по расположению) являются смежными углами, так как точки A, O, D лежат на одной прямой (высоте AD). Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.$ x + y = 180^\circ $.
$ 135^\circ + y = 180^\circ $.
$ y = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $.
Этот результат можно также проверить, рассмотрев прямоугольный треугольник ODC ($ \angle \text{ODC} = 90^\circ $). Угол $ \angle \text{OCD} = \angle \text{BCE} $. В прямоугольном треугольнике CEB $ \angle \text{BCE} = 90^\circ - \angle \text{B} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. Тогда в треугольнике ODC $ y = 90^\circ - \angle \text{OCD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $, что подтверждает наш расчет.
Ответ: $ y = 45^\circ $.