Номер 3, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 3

Докажите, что если $AB = CD$ и $AB \parallel CD$, то $BC = AD$ и $BC \parallel AD$.

Для доказательства рассмотрим четырехугольник $ABCD$ и проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти два треугольника:

• $AB = CD$ по условию задачи.
• $AC$ является общей стороной для обоих треугольников.
• $\angle BAC = \angle DCA$, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ (по условию $AB \parallel CD$) секущей $AC$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из того, что треугольники равны, следует, что их соответствующие элементы также равны:

1. Сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $AD$ треугольника $\triangle CDA$. То есть, $BC = AD$.
2. Угол $\angle BCA$ треугольника $\triangle ABC$ равен углу $\angle DAC$ треугольника $\triangle CDA$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими углами при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $BC$ и $AD$ параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Таким образом, мы доказали, что из условий $AB = CD$ и $AB \parallel CD$ следуют заключения $BC = AD$ и $BC \parallel AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.