Номер 170, страница 114 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

170*. Выясните, верно ли утверждение: «Если два угла равны и какие-то две их стороны параллельны, то и две другие стороны этих углов параллельны».

Утверждение не является верным. То, будут ли вторые стороны параллельны, зависит от взаимного расположения углов.

Пусть даны два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$, и известно, что они равны: $\angle 1 = \angle 2 = \alpha$. Пусть $\angle 1$ образован лучами $a$ и $b$, а $\angle 2$ — лучами $c$ и $d$. Также по условию одна пара сторон параллельна, например, $a \parallel c$. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной вершины. Величина угла — это мера поворота от одного луча до другого. Для заданного луча (например, $c$) и величины угла ($\alpha$), второй луч ($d$) может быть построен по обе стороны от первого. В одном случае он может оказаться параллельным лучу $b$, а в другом — нет.

Рассмотрим контрпример, чтобы доказать ложность утверждения. Введем декартову систему координат.

1. Определим первый угол, $\angle AOB$. Пусть его вершина $O$ находится в начале координат $(0,0)$. Пусть луч $OA$ совпадает с положительным направлением оси $Ox$ (то есть лежит на прямой $y=0$ при $x \ge 0$). Пусть луч $OB$ лежит на прямой $y=x$ в первой координатной четверти (при $x \ge 0$). Тогда величина угла $\angle AOB$ равна $45^\circ$.

2. Определим второй угол, $\angle CED$. Пусть его вершина $E$ находится в точке $(0,1)$. Пусть луч $EC$ параллелен лучу $OA$ и сонаправлен с ним, то есть лежит на прямой $y=1$ при $x \ge 0$. Таким образом, условие параллельности одной пары сторон выполнено: $OA \parallel EC$.

3. По условию задачи, $\angle CED$ должен быть равен $\angle AOB$, то есть $\angle CED = 45^\circ$. Луч $ED$ должен выходить из вершины $E(0,1)$ и образовывать с лучом $EC$ угол в $45^\circ$. Существует два возможных положения для луча $ED$:

• С одной стороны от луча $EC$. В этом случае луч $ED$ будет лежать на прямой, проходящей через точку $(0,1)$ с угловым коэффициентом $k = \tan(45^\circ) = 1$. Уравнение этой прямой: $y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$, то есть $y = x + 1$. Эта прямая параллельна прямой $y=x$, на которой лежит луч $OB$. В этом случае вторые стороны углов параллельны.
• С другой стороны от луча $EC$. В этом случае луч $ED$ будет лежать на прямой, проходящей через точку $(0,1)$ с угловым коэффициентом $k = \tan(-45^\circ) = -1$. Уравнение этой прямой: $y - 1 = -1 \cdot (x - 0)$, то есть $y = -x + 1$. Эта прямая не параллельна прямой $y=x$ (так как их угловые коэффициенты $ -1 $ и $ 1 $ не равны).

Так как мы нашли случай, когда все условия утверждения выполнены (два угла равны $45^\circ$, и одна пара их сторон параллельна), но вывод не выполняется (две другие стороны не параллельны), то исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.