Номер 2, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

2. Прямые $a$ и $b$ пересечены прямыми $c$ и $d$. Найдите угол $\alpha$.

а) $\alpha$, $119^\circ$

б) $\alpha$, $111^\circ$

в) $\alpha$, $108^\circ$, $72^\circ$, $95^\circ$

а) На рисунке показано, что прямая $c$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$ (обозначено символами прямого угла). По свойству, если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $a \parallel b$.
Прямая $d$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$. Угол, равный $119^\circ$, и угол $\alpha$ являются внутренними односторонними углами, так как они находятся между параллельными прямыми и по одну сторону от секущей. Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей равна $180^\circ$.
Таким образом, можно составить уравнение: $\alpha + 119^\circ = 180^\circ$.
Решая уравнение, находим $\alpha$: $\alpha = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ$.
Ответ: $\alpha = 61^\circ$.

б) На рисунке прямая $d$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Прямая $c$ является секущей для этих параллельных прямых.
Угол $\alpha$ и угол $111^\circ$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Их сумма равна $180^\circ$.
Следовательно: $\alpha + 111^\circ = 180^\circ$.
Отсюда: $\alpha = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$.
Ответ: $\alpha = 69^\circ$.

в) Сначала необходимо определить, параллельны ли прямые $a$ и $b$. Для этого рассмотрим прямые $a$ и $b$ и секущую $c$. Углы $108^\circ$ и $72^\circ$ являются внутренними односторонними. Найдем их сумму: $108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$.
Согласно признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Таким образом, $a \parallel b$.
Теперь рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$ и секущую $d$. Обозначим угол, вертикальный углу $\alpha$, как $\beta$. Угол $\beta$ является внутренним. Угол, равный $95^\circ$, также является внутренним. Углы $\beta$ и $95^\circ$ являются внутренними односторонними, так как они лежат по одну сторону от секущей $d$ между параллельными прямыми $a$ и $b$. Сумма таких углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\beta + 95^\circ = 180^\circ$.
$\beta = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$.
Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ являются вертикальными, они равны. Значит, $\alpha = \beta = 85^\circ$.
Ответ: $\alpha = 85^\circ$.