Номер 3, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

3. Найдите $\angle 4$, если:

a) $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = 72^\circ$;

б) $\angle 1 = 138^\circ$, $\angle 2 = 42^\circ$, $\angle 3 = 75^\circ$;

в) $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$, $\angle 3 = 122^\circ$.

а)

В данном пункте рассматривается конфигурация, представленная на первом чертеже. Углы $\angle 1$ ($\angle BAC$) и $\angle 2$ ($\angle CKM$) являются соответственными углами при прямых $AB$ и $MK$ и секущей $AC$.

По условию задачи дано, что $\angle 1 = \angle 2$. Согласно признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Отсюда следует, что $AB \parallel MK$.

Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $MK$ и секущую $BC$. Углы $\angle 3$ ($\angle ABC$) и $\angle 4$ ($\angle KMC$) также являются соответственными.

По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Так как $AB \parallel MK$, то $\angle 4 = \angle 3$.

По условию $\angle 3 = 72^{\circ}$.

Следовательно, $\angle 4 = 72^{\circ}$.

Ответ: $72^{\circ}$

б)

Для этого пункта используется второй чертеж. На нем отмечены углы: $\angle 3 = \angle BAC$, $\angle 2 = \angle BCA$, $\angle 4 = \angle AMK$, и $\angle 1$. Судя по чертежу и данным задачи (сумма углов $\angle 1$ и $\angle 3$ была бы больше $180^{\circ}$, если бы $\angle 1$ был внутренним углом треугольника $AMK$), угол $\angle 1$ является внешним углом треугольника $AMK$ при вершине $K$. То есть, $\angle 1 = \angle CKM = 138^{\circ}$.

Угол $\angle AKM$ является смежным с углом $\angle 1$, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$.

$\angle AKM = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $AMK$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$:

$\angle A + \angle AMK + \angle AKM = 180^{\circ}$

Подставим известные значения: $\angle A = \angle 3 = 75^{\circ}$, $\angle AMK = \angle 4$, $\angle AKM = 42^{\circ}$.

$75^{\circ} + \angle 4 + 42^{\circ} = 180^{\circ}$

$117^{\circ} + \angle 4 = 180^{\circ}$

$\angle 4 = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$.

Заметим, что данное в условии значение $\angle 2 = 42^{\circ}$ подтверждает наше решение: так как $\angle AKM = 42^{\circ}$ и $\angle C = \angle 2 = 42^{\circ}$, то соответственные углы $\angle AKM$ и $\angle C$ при прямых $MK$, $BC$ и секущей $AC$ равны, что означает $MK \parallel BC$.

Ответ: $63^{\circ}$

в)

Для этого пункта используется третий чертеж. На нем отмечены углы: $\angle 1 = \angle BKM$, $\angle 2 = \angle BCA$, $\angle 3 = \angle BMK$, $\angle 4 = \angle BAC$.

Рассмотрим углы при точке $K$ на прямой $BC$. Угол $\angle 1$ ($\angle BKM$) и угол $\angle MKC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$:

$\angle 1 + \angle MKC = 180^{\circ}$

По условию задачи дано, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

Сравнивая эти два равенства, мы можем заключить, что $\angle MKC = \angle 2$.

Углы $\angle MKC$ и $\angle 2$ ($\angle BCA$) являются накрест лежащими при прямых $MK$ и $AC$ и секущей $BC$. Так как эти накрест лежащие углы равны, то прямые $MK$ и $AC$ параллельны ($MK \parallel AC$).

Теперь рассмотрим параллельные прямые $MK$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle 3$ ($\angle BMK$) и $\angle 4$ ($\angle BAC$) являются соответственными.

По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $\angle 4 = \angle 3$.

По условию $\angle 3 = 122^{\circ}$.

Таким образом, $\angle 4 = 122^{\circ}$.

Ответ: $122^{\circ}$