Номер 171, страница 114 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

171*. Выясните, верно ли утверждение: «Если два угла равны и какие-то две их стороны перпендикулярны, то и две другие стороны этих углов перпендикулярны».

Данное утверждение является неверным. Для того чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример — то есть, найти такую ситуацию, в которой все условия утверждения выполняются, а заключение — нет.

Рассмотрим два угла, $\angle AOB$ и $\angle CQD$.

1. Условие о равенстве углов.

Пусть оба угла равны $30^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle CQD = 30^\circ$. Первое условие выполнено.

2. Условие о перпендикулярности двух сторон.

Для наглядности разместим эти углы на координатной плоскости. Пусть их вершины $O$ и $Q$ совпадают с началом координат. Направим сторону (луч) $OA$ первого угла вдоль положительной части оси абсцисс ($Ox$), а сторону $QC$ второго угла — вдоль положительной части оси ординат ($Oy$). Поскольку оси координат взаимно перпендикулярны, то и стороны $OA$ и $QC$ перпендикулярны ($OA \perp QC$). Таким образом, второе условие — «какие-то две их стороны перпендикулярны» — тоже выполнено.

3. Проверка заключения.

Теперь необходимо проверить, перпендикулярны ли «две другие стороны», то есть $OB$ и $QD$.
Сторона $OB$ образует со стороной $OA$ (осью $Ox$) угол $30^\circ$. Будем считать, что луч $OB$ расположен в первой координатной четверти.
Сторона $QD$ образует со стороной $QC$ (осью $Oy$) угол $30^\circ$. Для луча $QD$ есть два возможных положения: он может быть повернут относительно $QC$ по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Рассмотрим случай, когда луч $QD$ повернут относительно $QC$ (оси $Oy$) по часовой стрелке на $30^\circ$. Он также окажется в первой координатной четверти. Угол, который луч $QD$ образует с положительным направлением оси $Ox$, будет равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Теперь найдем угол между сторонами $OB$ и $QD$. Луч $OB$ образует с осью $Ox$ угол $30^\circ$, а луч $QD$ — угол $60^\circ$. Угол между ними равен разности этих углов: $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Поскольку угол между сторонами $OB$ и $QD$ равен $30^\circ$, а не $90^\circ$, эти стороны не являются перпендикулярными.

Мы построили пример, в котором оба условия из утверждения выполнены, но заключение неверно. Следовательно, все утверждение в общем виде неверно.

Ответ: Утверждение неверно.