Номер 167, страница 114 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

167. Докажите, что если $a \parallel b, c \parallel d, AM \perp b, AK \perp d$, то $\angle 1 = \angle 2$ (рис. 218).

Рис. 218

Дано:
Прямые $a \parallel b, c \parallel d$.
$AM \perp b$.
$AK \perp d$.

Доказать:
$\angle 1 = \angle 2$.

Доказательство:

Рассмотрим углы, образованные пересекающимися прямыми. Пусть $\angle 3$ — это угол, соответственный углу $\angle 2$ при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. По свойству соответственных углов при параллельных прямых, они равны: $\angle 3 = \angle 2$. Угол $\angle 3$ расположен у вершины $A$ и образован прямыми $a$ и $c$.

По условию, $AK \perp d$. Так как прямые $c$ и $d$ параллельны ($c \parallel d$), то прямая, перпендикулярная одной из них, перпендикулярна и другой. Следовательно, $AK \perp c$. Это означает, что угол между прямой $c$ и отрезком $AK$ равен $90^\circ$.

Аналогично, по условию $AM \perp b$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то прямая, перпендикулярная одной из них, перпендикулярна и другой. Следовательно, $AM \perp a$. Это означает, что угол между прямой $a$ и отрезком $AM$ равен $90^\circ$.

Теперь рассмотрим углы с общей вершиной $A$. Угол между прямой $a$ и отрезком $AM$ равен $90^\circ$. Этот угол, как видно из рисунка, состоит из двух смежных углов: $\angle 1$ (он же $\angle KAM$) и угла, образованного прямой $a$ и отрезком $AK$. Обозначим этот угол как $\angle (a, AK)$. Тогда можно записать равенство:
$\angle 1 + \angle (a, AK) = 90^\circ$.
Отсюда выразим $\angle 1$:
$\angle 1 = 90^\circ - \angle (a, AK)$.

С другой стороны, угол между прямой $c$ и отрезком $AK$ равен $90^\circ$. Этот угол, в свою очередь, состоит из двух смежных углов: $\angle 3$ (угол между прямыми $a$ и $c$) и того же угла $\angle (a, AK)$. Тогда можно записать равенство:
$\angle 3 + \angle (a, AK) = 90^\circ$.
Отсюда выразим $\angle 3$:
$\angle 3 = 90^\circ - \angle (a, AK)$.

Сравнивая полученные выражения для $\angle 1$ и $\angle 3$, мы видим, что они равны: $\angle 1 = \angle 3$. Поскольку мы ранее установили, что $\angle 3 = \angle 2$ (как соответственные углы), то окончательно получаем, что $\angle 1 = \angle 2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle 1 = \angle 2$ доказано.