Номер 164, страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

164. На рисунке 216 $KB \perp AB$, $BC \perp AC$, $CD \perp AB$, $DE \perp AC$, $EP \perp AB$, $\angle AEP = 58^\circ$. Найдите $\angle KBC$.

Рис. 216

1. Нахождение величины угла A (∠CAB)

Рассмотрим треугольник APE. Согласно условию задачи, $EP \perp AB$. Следовательно, треугольник APE является прямоугольным, и его угол $\angle APE = 90^\circ$. Также по условию известно, что $\angle AEP = 58^\circ$.

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Исходя из этого, для треугольника APE можно вычислить угол A ($\angle PAE$):

$\angle A = 180^\circ - \angle APE - \angle AEP = 180^\circ - 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$.

2. Нахождение величины угла ABC

Теперь рассмотрим треугольник ABC. По условию, $BC \perp AC$. Это означает, что треугольник ABC также является прямоугольным с прямым углом $\angle BCA = 90^\circ$.

Зная два угла в треугольнике ABC ($\angle A = 32^\circ$ и $\angle BCA = 90^\circ$), мы можем найти третий угол, $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BCA - \angle CAB = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$.

3. Нахождение искомого угла KBC

Из условия задачи известно, что $KB \perp AB$. Это означает, что угол $\angle KBA$ является прямым, т.е. $\angle KBA = 90^\circ$.

Как видно из рисунка, угол $\angle KBA$ образован двумя смежными углами: $\angle KBC$ и $\angle ABC$. Таким образом, справедливо равенство:

$\angle KBA = \angle KBC + \angle ABC$

Отсюда выражаем искомый угол $\angle KBC$ и подставляем ранее найденные значения:

$\angle KBC = \angle KBA - \angle ABC = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$.

Ответ: $32^\circ$