Номер 161, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

161*. Докажите, что если у четырехугольника противоположные стороны параллельны, то его противоположные углы равны между собой.

Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого, согласно условию, противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Такой четырехугольник по определению является параллелограммом. Нам необходимо доказать, что его противоположные углы равны между собой, то есть $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC, которая разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Рассмотрим эти треугольники.

• Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DAC$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.
• Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и той же секущей $AC$.
• Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

3. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. Следовательно, противолежащие углы $\angle B$ и $\angle D$ четырехугольника равны.

5. Противолежащие углы $\angle A$ и $\angle C$ также равны, поскольку они являются суммами равных углов:
$\angle A = \angle BAC + \angle CAD$
$\angle C = \angle DCA + \angle BCA$
Поскольку из пункта 2 мы знаем, что $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle CAD = \angle BCA$, то и $\angle A = \angle C$.

Таким образом, мы доказали, что у четырехугольника, противоположные стороны которого параллельны, противоположные углы равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.