Номер 159, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

159*. На рисунке 208 $MN \parallel AC$. Докажите, что если $O$ — точка пересечения биссектрис углов $A$ и $C$, то $AM + CN = MN$.

Найдите длину стороны $AC$, если периметр треугольника $ABC$ равен 34 см, а периметр треугольника $MBN$ — 26 см.

Рис. 208

Докажите, что если O — точка пересечения биссектрис углов А и С, то AM + CN = MN.

1. Рассмотрим треугольник $AMO$. По условию, $AO$ является биссектрисой угла $A$, следовательно, $\angle MAO = \angle OAC$.

2. Так как $MN \parallel AC$ (по условию), то углы $\angle MOA$ и $\angle OAC$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AO$. Из свойства параллельных прямых следует, что $\angle MOA = \angle OAC$.

3. Из пунктов 1 и 2 получаем, что $\angle MAO = \angle MOA$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AMO$ — равнобедренный с основанием $AO$, и его боковые стороны равны: $AM = MO$.

4. Аналогично рассмотрим треугольник $CNO$. По условию, $CO$ является биссектрисой угла $C$, следовательно, $\angle NCO = \angle OCA$.

5. Так как $MN \parallel AC$, углы $\angle NOC$ и $\angle OCA$ являются накрест лежащими при секущей $CO$. Следовательно, $\angle NOC = \angle OCA$.

6. Из пунктов 4 и 5 получаем, что $\angle NCO = \angle NOC$. Следовательно, треугольник $CNO$ — равнобедренный с основанием $CO$, и его боковые стороны равны: $CN = ON$.

7. Отрезок $MN$ состоит из двух отрезков $MO$ и $ON$, поэтому его длина равна их сумме: $MN = MO + ON$.

8. Подставляя в это равенство результаты из пунктов 3 и 6, получаем: $MN = AM + CN$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

Найдите длину стороны AC, если периметр треугольника ABC равен 34 см, а периметр треугольника MBN — 26 см.

1. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

2. Представим стороны $AB$ и $BC$ как суммы отрезков: $AB = AM + MB$ и $BC = BN + CN$.

3. Подставим эти выражения в формулу периметра треугольника $ABC$: $P_{ABC} = (AM + MB) + (BN + CN) + AC$.

4. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{ABC} = (MB + BN) + (AM + CN) + AC$.

5. Из первой части задачи мы знаем, что $AM + CN = MN$. Заменим эту сумму в выражении для периметра: $P_{ABC} = (MB + BN + MN) + AC$.

6. Выражение в скобках $MB + BN + MN$ — это периметр треугольника $MBN$, то есть $P_{MBN}$. Таким образом, мы получаем связь между периметрами: $P_{ABC} = P_{MBN} + AC$.

7. Подставим известные из условия значения периметров: $34 = 26 + AC$.

8. Выразим $AC$: $AC = 34 - 26 = 8$ см.

Ответ: 8 см.