Номер 156, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

156. Концы отрезка $AB$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$. Точка $O$ — середина отрезка $AB$. Докажите, что любой другой отрезок с концами на прямых $a$ и $b$, проходящий через точку $O$, делится ею пополам.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Отрезок $AB$ имеет концы на этих прямых: точка $A$ лежит на прямой $a$ ($A \in a$), а точка $B$ лежит на прямой $b$ ($B \in b$).
Точка $O$ — середина отрезка $AB$, что означает $AO = OB$.
Через точку $O$ проходит другой отрезок $CD$, концы которого также лежат на прямых $a$ и $b$. Пусть $C \in a$ и $D \in b$.

Доказать:
Точка $O$ является серединой отрезка $CD$, то есть $CO = OD$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. Эти треугольники образованы пересекающимися отрезками $AB$ и $CD$.

Сравним элементы этих треугольников:

1. Сторона $AO$ треугольника $\triangle AOC$ равна стороне $BO$ треугольника $\triangle BOD$ по условию, так как $O$ — середина отрезка $AB$.

2. Угол $\angle OAC$ равен углу $\angle OBD$. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $AB$, и, следовательно, они равны.

3. Угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOD$. Эти углы являются вертикальными, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$, и поэтому они равны.

Таким образом, мы имеем равенство одной стороны и двух прилежащих к ней углов в рассматриваемых треугольниках ($AO = BO$, $\angle OAC = \angle OBD$, $\angle AOC = \angle BOD$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CO$ в треугольнике $\triangle AOC$ лежит напротив угла $\angle OAC$. Сторона $DO$ в треугольнике $\triangle BOD$ лежит напротив угла $\angle OBD$. Поскольку $\angle OAC = \angle OBD$, то и противолежащие им стороны $CO$ и $DO$ равны.

Следовательно, $CO = DO$, что означает, что точка $O$ делит отрезок $CD$ пополам. Утверждение доказано.

Ответ: Мы доказали, что любой отрезок с концами на параллельных прямых $a$ и $b$, проходящий через точку $O$ (середину отрезка $AB$), делится этой точкой пополам.