Номер 154, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

154. Найдите угол, обозначенный знаком вопроса (рис. 206).

а) A B ? $124^\circ$ D C

б) C $84^\circ$ $96^\circ$ A ? B D $142^\circ$

в) $82^\circ$ A $98^\circ$ B $96^\circ$ D ? C

Рис. 206

На рисунке изображена вертикальная прямая, которая перпендикулярна двум горизонтальным прямым. Если прямая перпендикулярна двум другим прямым, лежащим в одной плоскости, то эти две прямые параллельны. Следовательно, горизонтальные прямые параллельны друг другу.

Наклонная прямая является секущей для этих двух параллельных прямых. Угол, обозначенный знаком вопроса, и угол величиной $124^\circ$ являются соответственными углами.

Согласно свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Таким образом, искомый угол равен $124^\circ$.

Ответ: $124^\circ$.

Рассмотрим малый треугольник, образованный пересечением зеленой, синей и красной прямых. Найдем его углы.

Один из углов этого треугольника (при вершине А) является смежным с углом $96^\circ$. Следовательно, он равен $180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$.

Другой угол (при вершине С) дан и равен $84^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Третий угол этого треугольника (верхний) равен: $180^\circ - (84^\circ + 84^\circ) = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$.

Теперь рассмотрим большой треугольник, образованный зеленой, красной и нижней горизонтальной прямыми. Искомый угол (?) — это один из его углов. Верхний угол этого треугольника, как мы нашли, равен $12^\circ$.

Используем теорему о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол при правой нижней вершине большого треугольника равен $142^\circ$. Он равен сумме искомого угла и верхнего угла ($12^\circ$).

Составим уравнение: $? + 12^\circ = 142^\circ$

Отсюда находим искомый угол: $? = 142^\circ - 12^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $130^\circ$.

На рисунке изображен выпуклый четырехугольник. Искомый угол (?) является одним из его внутренних углов.

Для нахождения искомого угла воспользуемся свойством о сумме внутренних углов четырехугольника. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Найдем внутренние углы четырехугольника, используя данные внешние углы. Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$.

• Внутренний угол при вершине A: $180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.
• Внутренний угол при вершине B: $180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$.
• Внутренний угол при вершине D: $180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$.

Теперь запишем уравнение для суммы углов четырехугольника: $98^\circ + 82^\circ + 84^\circ + ? = 360^\circ$

Сложим известные углы: $264^\circ + ? = 360^\circ$

Найдем неизвестный угол: $? = 360^\circ - 264^\circ = 96^\circ$.

Ответ: $96^\circ$.