Номер 153, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

153. Докажите, что если у четырехугольника $ABCD AB = CD,$ $AB \parallel CD,$ то $BC \parallel AD.$

Для доказательства данного утверждения рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором по условию стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны ($AB = CD$, $AB \parallel CD$).

1. Проведем в четырехугольнике диагональ $AC$. Она разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Сравним эти два треугольника. В них:
- $AB = CD$ по условию задачи.
- $AC$ — общая сторона.
- Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

3. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$.

5. Рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими для этих прямых. Поскольку мы доказали, что эти углы равны, то по признаку параллельности двух прямых можно утверждать, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Таким образом, мы доказали, что если у четырехугольника $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, то стороны $BC$ и $AD$ также параллельны.
Ответ: Что и требовалось доказать.