Номер 152, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

152. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BK$, а из вершины $C$ — прямую, параллельную $BK$, которая пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $E$. Докажите, что треугольник $BEC$ — равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $BEC$ является равнобедренным, необходимо доказать, что два его угла равны. Это, в свою очередь, будет означать, что стороны, лежащие против этих углов, также равны.

1. По условию, $BK$ — биссектриса угла $\angle ABC$. Это означает, что она делит угол на два равных угла:

$\angle ABK = \angle KBC$.

2. По условию, прямая $CE$ параллельна прямой $BK$ ($CE \parallel BK$). Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $BC$. Углы $\angle KBC$ и $\angle BCE$ являются накрест лежащими углами. Следовательно, они равны:

$\angle KBC = \angle BCE$.

3. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $BK$ и $CE$, но с секущей $AE$. Точки $A, B, E$ лежат на одной прямой. Углы $\angle ABK$ и $\angle BEC$ (также можно записать как $\angle CEB$) являются соответственными углами. Следовательно, они также равны:

$\angle ABK = \angle BEC$.

4. Сопоставим полученные равенства. Из шага 1 мы знаем, что $\angle ABK = \angle KBC$. Из шага 2 мы знаем, что $\angle KBC = \angle BCE$. Из шага 3 мы знаем, что $\angle ABK = \angle BEC$.

Из этих равенств следует, что:

$\angle BCE = \angle KBC = \angle ABK = \angle BEC$.

Таким образом, мы получили, что $\angle BCE = \angle BEC$.

5. В треугольнике $BEC$ два угла ($\angle BCE$ и $\angle BEC$) равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. В треугольнике $BEC$ напротив угла $\angle BEC$ лежит сторона $BC$, а напротив угла $\angle BCE$ лежит сторона $BE$. Следовательно:

$BC = BE$.

Это доказывает, что треугольник $BEC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $BEC$ является равнобедренным. Доказательство основано на свойствах параллельных прямых и биссектрисы угла. Поскольку $BK \parallel CE$, то $\angle BCE = \angle KBC$ (как накрест лежащие углы при секущей $BC$) и $\angle BEC = \angle ABK$ (как соответственные углы при секущей $AE$). Так как $BK$ — биссектриса угла $\angle ABC$, то $\angle ABK = \angle KBC$. Отсюда следует, что $\angle BCE = \angle BEC$. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны, поэтому $BE = BC$, что и означает, что треугольник $BEC$ — равнобедренный.