Номер 157, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

157. Докажите, что прямая, которая пересекает боковую сторону равнобедренного треугольника и параллельна его основанию, отсекает от него равнобедренный треугольник.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, а $AC$ является основанием.

Дано:
1. $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$.
2. Прямая $l$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$ и сторону $BC$ в точке $N$.
3. $MN \parallel AC$.

Доказать:
$\triangle MBN$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Рассмотрим параллельные прямые $MN$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $\angle BMN = \angle BAC$.

3. Рассмотрим те же параллельные прямые $MN$ и $AC$, но теперь с секущей $BC$. Углы $\angle BNM$ и $\angle BCA$ также являются соответственными, и, следовательно, они равны: $\angle BNM = \angle BCA$.

4. Теперь объединим полученные равенства:
- Из пункта 1: $\angle BAC = \angle BCA$.
- Из пункта 2: $\angle BMN = \angle BAC$.
- Из пункта 3: $\angle BNM = \angle BCA$.
Отсюда следует, что $\angle BMN = \angle BNM$.

5. В треугольнике $MBN$ два угла ($\angle BMN$ и $\angle BNM$) равны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны, то есть $MB = NB$.

Таким образом, треугольник $MBN$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.