Моделирование, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Моделирование

Пассажирский самолет летел строго на север. Затем, не меняя высоты, он изменил курс, повернув влево на $45^\circ$. Вскоре экипажу поступила команда лететь на юг. На сколько градусов пилот должен во второй раз повернуть самолет, чтобы лететь требуемым курсом на юг? Сделайте чертеж, обозначив положение самолета точками. Предложите несколько способов нахождения ответа.

Сделайте чертеж, обозначив положение самолета точками.

Для наглядного представления задачи смоделируем движение самолета на плоскости, где направления соответствуют сторонам света.

1. Изобразим начальную точку А. Из нее проведем вертикальный вектор AB вверх, который обозначает первоначальное движение самолета на север.
2. В точке B самолет поворачивает влево на $45^{\circ}$. Изобразим новый вектор курса BC, который отклонен от вертикального направления (продолжения вектора AB) на $45^{\circ}$ влево. Этот вектор направлен на северо-запад.
3. В некоторой точке C экипаж получает команду лететь на юг. Изобразим вектор требуемого курса CD, направленный вертикально вниз.

Искомый угол поворота — это угол между вектором текущего курса (представленным вектором BC) и вектором нового курса (представленным вектором CD).

Предложите несколько способов нахождения ответа.

Способ 1: Геометрический

Этот способ основан на использовании направлений по компасу (сторон света).

1. Первоначальный курс самолета — север.
2. После поворота влево на $45^{\circ}$ новый курс самолета — северо-запад.
3. Требуемый курс — юг.
4. Найдем угол между северо-западным и южным направлениями. Для этого можно посчитать, на сколько градусов нужно повернуть, двигаясь от одного направления к другому. Проще всего это сделать, используя промежуточные направления (например, запад или север).
5. Рассмотрим поворот налево: чтобы изменить курс с северо-западного на южный, самолет сначала должен повернуть до направления на запад (это поворот на $45^{\circ}$), а затем от запада до юга (это поворот еще на $90^{\circ}$). Общий угол поворота налево составит: $45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$.
6. Рассмотрим поворот направо: чтобы изменить курс с северо-западного на южный, самолет может сначала вернуться к курсу на север (поворот на $45^{\circ}$), а затем совершить разворот от севера к югу (поворот на $180^{\circ}$). Общий угол поворота направо составит: $45^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}$.

Так как в задаче спрашивается, на сколько градусов нужно повернуть, обычно имеется в виду наименьший угол. Наименьший из двух возможных углов поворота — $135^{\circ}$.

Ответ: $135^{\circ}$.

Способ 2: С использованием свойств углов

Рассмотрим точку, в которой самолет совершает второй поворот. Проведем через эту точку прямую линию, соответствующую направлениям "север-юг".

• Направление на север и направление на юг образуют развернутый угол, равный $180^{\circ}$.
• Текущий курс самолета (северо-запад) отклонен от направления на север на $45^{\circ}$ в результате первого поворота.
• Угол между текущим курсом и требуемым курсом на юг можно найти, если из развернутого угла "север-юг" вычесть угол отклонения текущего курса от севера.
• Угол поворота = (Угол между севером и югом) - (Угол между севером и текущим курсом)
• Угол поворота = $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

Этот угол соответствует повороту налево.

Ответ: $135^{\circ}$.

Способ 3: Векторный

Введем декартову систему координат: ось Y направим на север, а ось X — на восток.

1. Текущий курс самолета — северо-запад. Он соответствует вектору, образующему с положительным направлением оси X угол $90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$. Единичный вектор этого направления: $\vec{v_1} = (\cos(135^{\circ}), \sin(135^{\circ})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
2. Требуемый курс — юг. Ему соответствует единичный вектор, направленный вдоль отрицательной части оси Y: $\vec{v_2} = (0, -1)$.
3. Угол $\alpha$ между этими векторами найдем через их скалярное произведение по формуле: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}| \cdot \cos(\alpha)$.
4. Вычислим скалярное произведение: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 0 + (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. Длины векторов $|\vec{v_1}|$ и $|\vec{v_2}|$ равны 1, так как они единичные.
6. Подставляем найденные значения в формулу: $-\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha)$.
7. Отсюда получаем $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Наименьший положительный угол, удовлетворяющий этому условию, равен $135^{\circ}$.

Ответ: $135^{\circ}$.