Номер 166, страница 114 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

166. На сторонах угла $A$, равного $90^\circ$, взяты точки $B$ и $C$ (рис. 217). Из точки $A$ на прямую $BC$ опущен перпендикуляр $AD$. Сумма углов $\angle ACB$ и $\angle DAB$ равна $138^\circ$. Найдите угол $\angle ACB$.

Рис. 217

По условию, нам дан треугольник $ABC$, в котором угол $A$ является прямым, то есть $\angle BAC = 90^\circ$. Из вершины $A$ на сторону $BC$ опущена высота $AD$, что означает $AD \perp BC$. Следовательно, треугольники $ADB$ и $ADC$ также являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Поэтому:

$\angle ABC + \angle ACB = 90^\circ$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$ ($\angle ADB = 90^\circ$). Сумма его острых углов также равна $90^\circ$:

$\angle DAB + \angle ABD = 90^\circ$

Угол $\angle ABD$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$. Таким образом, мы можем переписать второе уравнение как:

$\angle DAB + \angle ABC = 90^\circ$

Теперь у нас есть два равенства:

1) $\angle ABC + \angle ACB = 90^\circ$

2) $\angle ABC + \angle DAB = 90^\circ$

Сравнивая левые части этих уравнений, мы видим, что $\angle ACB = \angle DAB$.

В условии задачи дано, что сумма углов $ACB$ и $DAB$ равна $138^\circ$:

$\angle ACB + \angle DAB = 138^\circ$

Поскольку мы доказали, что $\angle ACB = \angle DAB$, мы можем подставить $\angle ACB$ вместо $\angle DAB$ в данное равенство:

$\angle ACB + \angle ACB = 138^\circ$

$2 \cdot \angle ACB = 138^\circ$

$\angle ACB = \frac{138^\circ}{2}$

$\angle ACB = 69^\circ$

Ответ: $69^\circ$.