Номер 168, страница 114 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

168. У углов $ABC$ и $MNK$ $AB \parallel MN$, $BC \perp NK$. Выясните, как могут быть связаны градусные меры углов $ABC$ и $MNK$. Рассмотрите все варианты.

Пусть $\alpha$ - градусная мера угла $ABC$, а $\beta$ - градусная мера угла $MNK$. Углы обычно рассматриваются в диапазоне $(0^\circ, 180^\circ)$.Условие $AB \parallel MN$ означает, что прямые, содержащие стороны $AB$ и $MN$, параллельны. Условие $BC \perp NK$ означает, что прямые, содержащие стороны $BC$ и $NK$, перпендикулярны.

Рассмотрим три прямые: $l_1$, содержащую сторону $AB$ (и, следовательно, параллельную стороне $MN$), $l_2$, содержащую сторону $BC$, и $l_3$, содержащую сторону $NK$.Из условий задачи следует, что $l_2 \perp l_3$.

Обозначим острый угол между двумя пересекающимися прямыми $p$ и $q$ как $\angle(p, q)$.Тогда острый угол, связанный с углом $ABC$, равен $\alpha' = \angle(l_1, l_2) = \min(\alpha, 180^\circ - \alpha)$.А острый угол, связанный с углом $MNK$, равен $\beta' = \angle(l_1, l_3) = \min(\beta, 180^\circ - \beta)$, поскольку прямая, содержащая $MN$, параллельна $l_1$.

Рассмотрим три прямые $l_1, l_2, l_3$. Известно, что $l_2 \perp l_3$. Угол между $l_1$ и $l_2$ равен $\alpha'$, а угол между $l_1$ и $l_3$ равен $\beta'$.Для любых трех прямых, две из которых перпендикулярны, острые углы, которые они образуют с третьей прямой, являются дополнительными друг к другу (их сумма равна $90^\circ$).Таким образом, мы получаем основное соотношение:$\alpha' + \beta' = 90^\circ$или$\min(\alpha, 180^\circ - \alpha) + \min(\beta, 180^\circ - \beta) = 90^\circ$.Рассмотрим все возможные варианты, исходя из этого соотношения.

Вариант 1: Оба угла острые

Если оба угла $ABC$ и $MNK$ являются острыми, то $\alpha \le 90^\circ$ и $\beta \le 90^\circ$.В этом случае $\min(\alpha, 180^\circ - \alpha) = \alpha$ и $\min(\beta, 180^\circ - \beta) = \beta$.Тогда основное соотношение принимает вид:$\alpha + \beta = 90^\circ$.Это означает, что углы дополняют друг друга до $90^\circ$. Например, если $\angle ABC = 30^\circ$, то $\angle MNK = 60^\circ$.Ответ: $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Вариант 2: Один угол острый, а другой – тупой

Рассмотрим случай, когда угол $ABC$ – острый ($\alpha \le 90^\circ$), а угол $MNK$ – тупой ($\beta > 90^\circ$).Тогда $\min(\alpha, 180^\circ - \alpha) = \alpha$ и $\min(\beta, 180^\circ - \beta) = 180^\circ - \beta$.Основное соотношение становится:$\alpha + (180^\circ - \beta) = 90^\circ$$180^\circ - 90^\circ = \beta - \alpha$$\beta - \alpha = 90^\circ$.Теперь рассмотрим случай, когда угол $ABC$ – тупой ($\alpha > 90^\circ$), а угол $MNK$ – острый ($\beta \le 90^\circ$).Тогда $\min(\alpha, 180^\circ - \alpha) = 180^\circ - \alpha$ и $\min(\beta, 180^\circ - \beta) = \beta$.Основное соотношение становится:$(180^\circ - \alpha) + \beta = 90^\circ$$180^\circ - 90^\circ = \alpha - \beta$$\alpha - \beta = 90^\circ$.Оба этих случая можно объединить в одно соотношение с использованием модуля:$|\alpha - \beta| = 90^\circ$.Это означает, что разность между градусными мерами углов равна $90^\circ$. Например, если $\angle ABC = 45^\circ$, то $\angle MNK = 135^\circ$.Ответ: $|\alpha - \beta| = 90^\circ$.

Вариант 3: Оба угла тупые

Если оба угла $ABC$ и $MNK$ являются тупыми, то $\alpha > 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$.В этом случае $\min(\alpha, 180^\circ - \alpha) = 180^\circ - \alpha$ и $\min(\beta, 180^\circ - \beta) = 180^\circ - \beta$.Тогда основное соотношение принимает вид:$(180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) = 90^\circ$$360^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ$$\alpha + \beta = 360^\circ - 90^\circ$$\alpha + \beta = 270^\circ$.Это означает, что сумма градусных мер углов равна $270^\circ$. Например, если $\angle ABC = 120^\circ$, то $\angle MNK = 150^\circ$.Ответ: $\alpha + \beta = 270^\circ$.