Номер 163, страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

163. На рисунке 215 $AB \parallel MN$, $BC \parallel NK$ и

$\angle ABC : \angle MNK = 1 : 2$. Найдите $\angle MNK$.

Рис. 215

Согласно условию задачи, стороны углов $\angle ABC$ и $\angle MNK$ попарно параллельны ($AB \parallel MN$ и $BC \parallel NK$). Из теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами следует, что такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

Чтобы определить, какой из этих двух случаев соответствует условию, можно использовать метод вспомогательной прямой. Продлим луч $NM$ так, чтобы он пересек луч $BC$ в некоторой точке $P$.

Поскольку $AB \parallel MN$ (а значит и $AB \parallel MP$), углы $\angle ABC$ и $\angle MPC$ являются соответственными при параллельных прямых $AB$, $MN$ и секущей $BC$. Следовательно, их величины равны: $\angle ABC = \angle MPC$.

Далее, так как $BC \parallel NK$, углы $\angle MPC$ и $\angle MNK$ являются внутренними односторонними при параллельных прямых $BC$, $NK$ и секущей $MN$. Сумма таких углов равна $180^\circ$, то есть $\angle MPC + \angle MNK = 180^\circ$.

Заменив в последнем равенстве $\angle MPC$ на равный ему угол $\angle ABC$, получим соотношение между искомыми углами: $\angle ABC + \angle MNK = 180^\circ$.

Из условия задачи также известно, что отношение этих углов равно $1:2$: $\angle ABC : \angle MNK = 1 : 2$.

Обозначим величину угла $\angle ABC$ как $x$. Тогда величина угла $\angle MNK$ будет равна $2x$.

Подставим эти выражения в полученное ранее уравнение:

$x + 2x = 180^\circ$

$3x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Таким образом, величина угла $\angle ABC$ составляет $60^\circ$.

Теперь найдем требуемый угол $\angle MNK$:

$\angle MNK = 2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.