Номер 162, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

162*. Докажите, что если $AB \parallel CD$, то:

а) $\angle AEC = \angle 1 + \angle 2$;

б) $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 360^\circ$ (рис. 210).

Рис. 210

а)

Проведем через точку E прямую, параллельную прямым AB и CD. Обозначим на этой прямой точку K так, чтобы она лежала внутри угла AEC. Эта прямая разделит угол ∠AEC на два угла: ∠AEK и ∠CEK. Таким образом, $∠AEC = ∠AEK + ∠CEK$.

Рассмотрим параллельные прямые AB и EK и секущую AE. Углы ∠BAE (обозначенный как ∠1) и ∠AEK являются накрест лежащими углами. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны. Следовательно, $∠AEK = ∠1$.

Рассмотрим параллельные прямые CD и EK и секущую CE. Углы ∠DCE (обозначенный как ∠2) и ∠CEK также являются накрест лежащими углами. Следовательно, $∠CEK = ∠2$.

Теперь подставим полученные равенства в выражение для угла ∠AEC:

$∠AEC = ∠AEK + ∠CEK = ∠1 + ∠2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $∠AEC = ∠1 + ∠2$.

б)

Проведем через точку E прямую, параллельную прямым AB и CD. Обозначим на этой прямой точку K, так чтобы луч EK был сонаправлен с лучами AB и CD. Этот луч разделит угол ∠AEC (обозначенный как ∠3) на два угла: ∠AEK и ∠CEK. Таким образом, $∠3 = ∠AEK + ∠CEK$.

Рассмотрим параллельные прямые AB и EK и секущую AE. Углы ∠BAE (∠1) и ∠AEK являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°. Следовательно, $∠1 + ∠AEK = 180°$.

Рассмотрим параллельные прямые CD и EK и секущую CE. Углы ∠DCE (∠2) и ∠CEK также являются внутренними односторонними углами. Следовательно, $∠2 + ∠CEK = 180°$.

Сложим два полученных равенства:

$(∠1 + ∠AEK) + (∠2 + ∠CEK) = 180° + 180°$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$∠1 + ∠2 + (∠AEK + ∠CEK) = 360°$

Поскольку $∠AEK + ∠CEK = ∠AEC = ∠3$, мы можем заменить сумму в скобках на ∠3:

$∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°$.