Номер 173, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

173. Найдите угол или сторону, которые обозначены знаком вопроса (рис. 230).

а) Треугольник с внешними углами $150^\circ$ и $110^\circ$ у основания и неизвестным углом $?$ у верхней вершины.

б) Треугольник $ABC$ с углом $A = 45^\circ$, стороной $AC = 8$. Неизвестная сторона $BC = ?$ и неизвестный угол $C = ?$.

в) Треугольник с углами $20^\circ$ и $80^\circ$. Известная сторона $12$. Неизвестная сторона $?$ напротив угла $20^\circ$.

г) Прямоугольный треугольник с одним острым углом $28^\circ$. Проведена высота к гипотенузе. Неизвестный угол $?$ образован высотой и катетом.

Рис. 230

а)

Два внутренних угла треугольника являются смежными с данными внешними углами. Сумма смежных углов равна $180°$.
Найдем внутренние углы треугольника:
Первый внутренний угол: $180° - 150° = 30°$.
Второй внутренний угол: $180° - 110° = 70°$.
Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$. Обозначим искомый угол через $x$.
$x + 30° + 70° = 180°$
$x + 100° = 180°$
$x = 180° - 100° = 80°$.
Ответ: $80°$.

б)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник, так как один из углов прямой ($90°$). Один из его острых углов равен $45°$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому второй острый угол равен: $180° - 90° - 45° = 45°$.
Поскольку два угла треугольника равны ($45°$), треугольник является равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны.
Данная сторона длиной 8 и неизвестная сторона являются катетами и лежат напротив равных углов в $45°$.
Следовательно, они равны, и длина неизвестной стороны равна 8.
Ответ: 8.

в)

В данном треугольнике известны два угла: $20°$ и $80°$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем третий угол:
Третий угол = $180° - (20° + 80°) = 180° - 100° = 80°$.
Таким образом, углы треугольника равны $20°, 80°, 80°$.
Поскольку два угла треугольника равны ($80°$), он является равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны.
Сторона длиной 12 лежит напротив верхнего угла в $80°$.
Неизвестная сторона (обозначенная знаком вопроса) лежит напротив правого нижнего угла, который мы нашли и который также равен $80°$.
Следовательно, длина неизвестной стороны равна 12.
Ответ: 12.

г)

Рассмотрим большой прямоугольный треугольник. Один из его острых углов равен $28°$.
Найдем второй острый угол этого треугольника (в правом нижнем углу): $90° - 28° = 62°$.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит большой треугольник на два меньших прямоугольных треугольника.
Искомый угол является частью правого меньшего треугольника. Углы этого меньшего треугольника: прямой угол у основания высоты, угол $62°$ (который он разделяет с большим треугольником) и искомый угол.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$.
Следовательно, искомый угол равен: $90° - 62° = 28°$.
Ответ: $28°$.