Номер 180, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

180. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 232). Найдите углы всех треугольников, которые являются гранями пирамиды $D_1A_1C_1D$.

Рис. 232

Пирамида $D_1A_1C_1D$ (которая также является тетраэдром) имеет четыре грани, которые являются треугольниками: $\triangle D_1A_1D$, $\triangle D_1C_1D$, $\triangle D_1A_1C_1$ и $\triangle A_1C_1D$. Найдем углы каждого из них. Пусть ребро куба равно $a$. Длина диагонали любой грани куба в таком случае равна $a\sqrt{2}$.

Стороны этого треугольника — это ребра куба $D_1A_1=a$, $DD_1=a$ и диагональ грани $AA_1D_1D$ — отрезок $A_1D=a\sqrt{2}$. Поскольку грань $AA_1D_1D$ является квадратом, угол между ее смежными сторонами $\angle A_1D_1D = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle D_1A_1D$ является прямоугольным и равнобедренным ($D_1A_1=DD_1$). Его острые углы равны: $\angle D_1A_1D = \angle D_1DA_1 = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$.

Ответ: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.

Стороны этого треугольника — это ребра куба $D_1C_1=a$, $DD_1=a$ и диагональ грани $CC_1D_1D$ — отрезок $C_1D=a\sqrt{2}$. Поскольку грань $CC_1D_1D$ является квадратом, угол $\angle C_1D_1D = 90^\circ$. Треугольник $\triangle D_1C_1D$ также является прямоугольным и равнобедренным. Его острые углы равны: $\angle D_1C_1D = \angle D_1DC_1 = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$.

Ответ: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.

Этот треугольник лежит в плоскости верхней грани куба. Его стороны — ребра $D_1A_1=a$, $D_1C_1=a$ и диагональ $A_1C_1=a\sqrt{2}$. Поскольку грань $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом, угол $\angle A_1D_1C_1 = 90^\circ$. Треугольник $\triangle D_1A_1C_1$ является прямоугольным и равнобедренным. Его острые углы равны: $\angle D_1A_1C_1 = \angle D_1C_1A_1 = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$.

Ответ: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.

Стороны этого треугольника — $A_1C_1$, $C_1D$ и $A_1D$. Каждая из них является диагональю соответствующей грани куба ($A_1B_1C_1D_1$, $CC_1D_1D$ и $AA_1D_1D$). Длина каждой из этих диагоналей равна $a\sqrt{2}$. Поскольку все стороны треугольника равны ($A_1C_1 = C_1D = A_1D = a\sqrt{2}$), он является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.