Номер 182, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

182. Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$, $AK$ — биссектриса, $AK = BK$. Найдите углы треугольника $ABC$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, так как $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA$.

Обозначим $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ и $\angle ABC = \beta$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

$\alpha + \beta + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha + \beta = 180^\circ$.

$AK$ — биссектриса угла $\angle BAC$, следовательно, она делит этот угол на два равных угла:

$\angle BAK = \angle KAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. По условию $AK = BK$, что означает, что треугольник $ABK$ также является равнобедренным, но с основанием $AB$. Углы при основании этого треугольника равны:

$\angle ABK = \angle BAK$.

Поскольку $\angle ABK$ является тем же углом, что и $\angle ABC$, то $\angle ABK = \beta$.

Теперь мы можем приравнять выражения для равных углов $\angle ABK$ и $\angle BAK$:

$\beta = \frac{\alpha}{2}$, или $\alpha = 2\beta$.

Подставим это соотношение в уравнение для суммы углов треугольника $ABC$:

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

$2(2\beta) + \beta = 180^\circ$

$4\beta + \beta = 180^\circ$

$5\beta = 180^\circ$

$\beta = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$.

Теперь найдем угол $\alpha$:

$\alpha = 2\beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны:

$\angle A = \angle BAC = 72^\circ$

$\angle B = \angle ABC = 36^\circ$

$\angle C = \angle BCA = 72^\circ$

Ответ: $72^\circ$, $36^\circ$, $72^\circ$.