Номер 184, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

184. Три биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Угол $OAC$ равен $32^\circ$. Найдите угол $BOC$.

Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Это означает, что отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Точка пересечения биссектрис треугольника называется его центром вписанной окружности (инцентром).

По условию, $\angle OAC = 32^\circ$. Так как $AO$ — биссектриса угла $\angle BAC$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle OAB = \angle OAC$.
Следовательно, величина всего угла $\angle BAC$ равна сумме его частей:
$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 2 \cdot \angle OAC = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$
Подставив известное значение $\angle BAC$, найдем сумму двух других углов:
$64^\circ + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$
$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Его углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ являются половинами углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$, так как $BO$ и $CO$ — биссектрисы:
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$

Сумма углов в треугольнике $BOC$ равна $180^\circ$:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$
Подставим выражения для $\angle OBC$ и $\angle OCB$:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB = 180^\circ$
$\angle BOC + \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ$

Мы ранее вычислили, что $\angle ABC + \angle ACB = 116^\circ$. Подставим это значение в последнее уравнение:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \cdot 116^\circ = 180^\circ$
$\angle BOC + 58^\circ = 180^\circ$
$\angle BOC = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$.

Ответ: $122^\circ$.