Номер 185, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

185. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что:

а) $\angle BAK = \angle BCM$;

б) $\angle B = \angle CHK$;

в) $\angle AHC + \angle B = 180^{\circ}$.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Так как $AK$ — высота, то $\angle AKB = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BAK + \angle B + \angle AKB = 180^\circ$. Отсюда $\angle BAK = 180^\circ - 90^\circ - \angle B = 90^\circ - \angle B$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CBM$. Так как $CM$ — высота, то $\angle CMB = 90^\circ$. Сумма углов в этом треугольнике также равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCM + \angle B + \angle CMB = 180^\circ$. Отсюда $\angle BCM = 180^\circ - 90^\circ - \angle B = 90^\circ - \angle B$. Таким образом, мы получили, что $\angle BAK = 90^\circ - \angle B$ и $\angle BCM = 90^\circ - \angle B$. Следовательно, $\angle BAK = \angle BCM$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольник $AMH$. Так как $CM$ — высота к стороне $AB$, то $\angle AMH = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AMH$ — прямоугольный. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle AHM + \angle MAH = 90^\circ$. Угол $\angle MAH$ — это тот же угол, что и $\angle BAK$. Значит, $\angle AHM = 90^\circ - \angle MAH = 90^\circ - \angle BAK$. Из прямоугольного треугольника $ABK$ мы знаем, что $\angle B = 90^\circ - \angle BAK$. Сравнивая два полученных выражения, заключаем, что $\angle AHM = \angle B$. Углы $\angle CHK$ и $\angle AHM$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AK$ и $CM$. Следовательно, $\angle CHK = \angle AHM$. Из этого следует, что $\angle CHK = \angle B$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Рассмотрим четырехугольник $BMHK$. В нем: $\angle HMB = 90^\circ$, так как $CM$ — высота, перпендикулярная $AB$. $\angle HKB = 90^\circ$, так как $AK$ — высота, перпендикулярная $BC$. Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $BMHK$ имеем: $\angle B + \angle HMB + \angle MHK + \angle HKB = 360^\circ$. Подставим известные значения углов: $\angle B + 90^\circ + \angle MHK + 90^\circ = 360^\circ$. Упростив, получаем: $\angle B + \angle MHK = 180^\circ$. Углы $\angle AHC$ и $\angle MHK$ являются вертикальными, поэтому $\angle AHC = \angle MHK$. Заменив $\angle MHK$ на $\angle AHC$ в последнем равенстве, получим: $\angle B + \angle AHC = 180^\circ$.
Ответ: Что и требовалось доказать.