Номер 178, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

178. Высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол C в отношении 4 : 5. Найдите острые углы треугольника ABC.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. Эта высота делит прямой угол $C$ на два угла: $\angle ACD$ и $\angle BCD$.

По условию задачи, эти углы относятся как $4:5$. То есть, $\angle ACD : \angle BCD = 4:5$.

Сумма этих углов равна величине прямого угла $C$:
$\angle ACD + \angle BCD = \angle C = 90^\circ$.

Пусть одна часть в этом отношении равна $x$. Тогда $\angle ACD = 4x$, а $\angle BCD = 5x$. Составим и решим уравнение: $4x + 5x = 90^\circ$
$9x = 90^\circ$
$x = 10^\circ$

Теперь найдем величины углов $\angle ACD$ и $\angle BCD$:
$\angle ACD = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$
$\angle BCD = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Рассмотрим треугольник $ADC$. Он является прямоугольным, так как $CD$ — высота и $\angle CDA = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно: $\angle A + \angle ACD = 90^\circ$
$\angle A + 40^\circ = 90^\circ$
$\angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$

Рассмотрим треугольник $BDC$. Он также является прямоугольным, так как $\angle CDB = 90^\circ$. Сумма его острых углов также равна $90^\circ$: $\angle B + \angle BCD = 90^\circ$
$\angle B + 50^\circ = 90^\circ$
$\angle B = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ — это $\angle A = 50^\circ$ и $\angle B = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$ и $50^\circ$.