Номер 181, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

181. Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$. На луче $AB$ отложен отрезок $BD$ за точку $B$ такой, что $BD = AB$.

Докажите, что треугольник $ACD$ — прямоугольный.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = BC$, то углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$.

По условию задачи, на луче $AB$ отложен отрезок $BD$ за точку $B$ такой, что $BD = AB$. Из этого и из условия $AB = BC$ следует, что $BC = BD$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как $BC = BD$, он является равнобедренным с основанием $CD$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle BDC = \angle BCD$. Обозначим величину этих углов как $\beta$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ACD$ это можно записать так:

$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$

Выразим углы треугольника $ACD$ через $\alpha$ и $\beta$:

• $\angle CAD$ это тот же угол, что и $\angle BAC$, поэтому $\angle CAD = \alpha$.
• $\angle ADC$ это тот же угол, что и $\angle BDC$, поэтому $\angle ADC = \beta$.
• $\angle ACD$ является суммой углов $\angle BCA$ и $\angle BCD$, поэтому $\angle ACD = \alpha + \beta$.

Подставим эти выражения в уравнение суммы углов треугольника $ACD$:

$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Поскольку мы установили, что $\angle ACD = \alpha + \beta$, то отсюда следует, что $\angle ACD = 90^\circ$.

Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$, является прямоугольным.

Ответ: Угол $\angle ACD$ равен $90^\circ$, следовательно, треугольник $ACD$ является прямоугольным, что и требовалось доказать.