Номер 186, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

186*. В треугольнике $ABC$ медиана $BK$ равна отрезку $AK$, $\angle CBK = 24^\circ$. Найдите $\angle A$.

Поскольку $BK$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что $AK = KC$.

По условию задачи, медиана $BK$ равна отрезку $AK$, то есть $BK = AK$.

Из двух этих равенств ($AK = KC$ и $BK = AK$) следует, что все три отрезка равны между собой: $AK = KC = BK$.

Рассмотрим треугольник $BKC$. Поскольку $BK = KC$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle KCB = \angle KBC$.

По условию $\angle CBK = 24^\circ$. Значит, $\angle KCB$ также равен $24^\circ$. Угол $\angle KCB$ — это угол $\angle C$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle C = 24^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку $BK = AK$, этот треугольник также является равнобедренным, но с основанием $AB$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle KAB = \angle KBA$.

Обозначим искомый угол $\angle A$ (то есть $\angle KAB$) через $x$. Тогда $\angle KAB = \angle KBA = x$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Выразим все углы треугольника $ABC$ через $x$:

• $\angle A = x$
• $\angle C = 24^\circ$
• Угол $\angle B$ состоит из двух углов: $\angle KBA$ и $\angle KBC$. Таким образом, $\angle B = \angle KBA + \angle KBC = x + 24^\circ$.

Подставим эти значения в уравнение суммы углов треугольника:

$x + (x + 24^\circ) + 24^\circ = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$2x + 48^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 48^\circ$

$2x = 132^\circ$

$x = 66^\circ$

Так как $x$ — это искомый угол $\angle A$, то $\angle A = 66^\circ$.

Ответ: $66^\circ$.