Номер 190, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

190*. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены высота, биссектриса и медиана. Докажите, что биссектриса делит пополам угол между высотой и медианой.

Дано:

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть $\angle A$ и $\angle B$ — его острые углы, для которых выполняется равенство $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Из вершины $C$ к гипотенузе $AB$ проведены высота $CH$, биссектриса $CL$ и медиана $CM$.

Доказать:

Биссектриса $CL$ делит пополам угол между высотой $CH$ и медианой $CM$. Иными словами, необходимо доказать, что $\angle HCL = \angle LCM$.

Доказательство:

1. По определению, биссектриса $CL$ делит прямой угол $C$ пополам, поэтому: $\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (он прямоугольный, так как $CH$ — высота). Сумма его острых углов равна $90^\circ$: $\angle ACH + \angle A = 90^\circ$. Отсюда $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$. Поскольку для исходного треугольника $ABC$ верно, что $\angle A + \angle B = 90^\circ$, то $90^\circ - \angle A = \angle B$. Следовательно, $\angle ACH = \angle B$.

3. По свойству медианы, проведённой из вершины прямого угла, её длина равна половине гипотенузы: $CM = \frac{1}{2}AB$. Так как $M$ — середина $AB$, то $AM = \frac{1}{2}AB$. Отсюда следует, что $CM = AM$, и треугольник $AMC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ACM = \angle A$.

4. Теперь мы можем выразить искомые углы $\angle HCL$ и $\angle LCM$ через углы треугольника. Угол между высотой и биссектрисой: $\angle HCL = |\angle ACL - \angle ACH| = |45^\circ - \angle B|$. Угол между медианой и биссектрисой: $\angle LCM = |\angle ACL - \angle ACM| = |45^\circ - \angle A|$.

5. Чтобы доказать равенство $\angle HCL = \angle LCM$, покажем, что $|45^\circ - \angle B| = |45^\circ - \angle A|$. Используем соотношение $\angle B = 90^\circ - \angle A$ и подставим его в выражение для $\angle HCL$: $\angle HCL = |45^\circ - (90^\circ - \angle A)| = |45^\circ - 90^\circ + \angle A| = |-45^\circ + \angle A| = |\angle A - 45^\circ|$. Таким образом, мы получили, что $\angle HCL = |\angle A - 45^\circ|$ и $\angle LCM = |45^\circ - \angle A|$. Поскольку для любого числа $x$ справедливо равенство $|x| = |-x|$, то $|\angle A - 45^\circ| = |45^\circ - \angle A|$. Следовательно, $\angle HCL = \angle LCM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.