Номер 5, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

5. Дано: $m \parallel n, \angle 1 = \angle 2$. Найдите EK.

a) m E

n K 5 P

б) m E

7

n K 8 P

в) $EP + EK = 12$

m E K

n P

а) Рассмотрим треугольник $△EKP$. Поскольку прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$), а $EP$ является секущей, то накрест лежащие углы равны. Угол, который обозначен как $∠2$ на прямой $m$, и угол $∠EPK$ на прямой $n$ являются соответственными углами при секущей EK, но более простой подход - это рассмотреть накрест лежащие углы. Пусть угол, смежный с углом, образованным $∠1$ и $∠2$, на прямой $m$ будет $∠A E K$. Тогда $∠AEP$ и $∠EPK$ — накрест лежащие углы при секущей $EP$. Следовательно, $∠AEP = ∠EPK$. Из рисунка видно, что $∠AEP = ∠2$. Таким образом, $∠EPK = ∠2$. По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$. Учитывая, что $∠1$ — это $∠KEP$, получаем: $∠KEP = ∠EPK$. В треугольнике $△EKP$ два угла равны, следовательно, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Напротив угла $∠EPK$ лежит сторона $EK$, а напротив угла $∠KEP$ лежит сторона $KP$. Значит, $EK = KP$. По условию $KP = 5$, следовательно, $EK = 5$.
Ответ: 5

б) Решение аналогично пункту а). Рассмотрим треугольник $△EKP$. Прямые $m$ и $n$ параллельны, а $EP$ — секущая. Угол, обозначенный как $∠2$, и угол $∠EPK$ являются накрест лежащими (если считать, что $∠2$ - это угол, смежный с $∠1$ и дополняющий его до развернутого угла с лучом ЕК). Более точная трактовка: угол, соответственный углу $∠EPK$ при секущей $EP$ — это угол при вершине $E$ справа от секущей. А угол $∠2$ — накрест лежащий с $∠EPK$. Следовательно, $∠2 = ∠EPK$. По условию $∠1 = ∠2$, а $∠1$ — это $∠KEP$. Отсюда следует, что $∠KEP = ∠EPK$. Так как в треугольнике $△EKP$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны: $EK = KP$. По условию дано, что $KP = 8$. Таким образом, $EK = 8$.
Ответ: 8

в) Рассмотрим треугольник $△EKP$. В этом случае вершины $E$ и $K$ лежат на прямой $m$, а вершина $P$ — на прямой $n$. Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$ и секущую $PK$. Угол $∠EKP$ и угол, вертикальный углу $∠2$, являются соответственными углами, из чего следует, что $∠EKP = ∠2$. Докажем это строже: угол, накрест лежащий с $∠EKP$ — это угол, который является вертикальным к $∠2$. Так как вертикальные углы равны, и накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то $∠EKP = ∠2$. По условию задачи $∠1 = ∠2$. Из этого следует, что $∠EKP = ∠1$. В треугольнике $△EKP$ мы имеем два равных угла: $∠EKP$ и $∠1$ (который по определению на рисунке является углом $∠KPE$). Таким образом, $∠EKP = ∠KPE$. Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Напротив угла $∠KPE$ лежит сторона $EK$, а напротив угла $∠EKP$ лежит сторона $EP$. Следовательно, $EK = EP$. По условию дано, что $EP + EK = 12$. Заменим $EP$ на равное ему $EK$: $EK + EK = 12$ $2 \cdot EK = 12$ $EK = 12 / 2 = 6$
Ответ: 6